2018年九下质检系列——福建福州倒一

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（2018·福建福州九下质检倒一）

如图，抛物线y=ax²+bx(a>0，b<0)交x轴于O、A两点，顶点为B.

（1）直接写出A，B两点的坐标（用含a、b的代数式表示）；

（2）直线y=kx+m（k>0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AB，CE，求证：CE∥AB；

（3）在（2）的条件下，连接OB，当∠OBA＝120⁰，√3/2≤k≤√3时，求AB/CE的取值范围.

(2)若用原顶点B的坐标代入直线解析式中，计算显然非常大，为此将原抛物线与直线解析式进行改造，如下：

抛物线的顶点B设为(h，d)，则抛物线为y=a(x－h)²+d，将原点（0，0）代入，得ah²+d=0，得到d=-ah² ，所以抛物线为y=a(x－h)²-ah².而直线y=kx+m经过点B，也可改写成y=k(x-h)+d，即y=k(x-h)－ah².

如下图示： 

联立两解析式，得：

　a(x－h)²-ah²=k(x-h)－ah²，

即a(x－h)² =k(x-h)，

      移项，得:

      a(x－h)²－k(x-h)＝0

      因式分解，得：

      (x-h)[a(x－h)－k]＝0

      解得，x₁=h，x₂＝h+k/a

      所以x_D= h+k/a，显然x_D>0.

对于直线CD：y=k(x-h)－ah²，

      当x=0时，y=－kh－ah²，得y_C=－kh－ah²，因k<0，显然有y_C<0.

      下面通过三角函数的定义证两角相等，得到CE∥AB.

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      添加如下图示的辅助线（构造直角三角形）：

由上述知:

OC＝－y_C= kh+ah²=h(k+ah)_，

OE=x_D=h+k/a=1/a(ah+k)，

BF＝－y_B=b²/(4a),

AF=OF=x_B=－b/(2a).

分别在Rt△OCE和Rt△ABF中，

tan∠OEC＝OC/OE＝…＝ah,

tan∠BAF＝BF/AF＝…＝－b/2

      又由抛物线的对称为x=h=-b/(2a)，可得ah=－b/2，

      得到tan∠OEC＝tan∠BAF，进一步，得∠OEC＝∠BAF，所以CE∥AB.

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下面还有，继续……

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(3)画出符合题意的图，如下：

      当∠OBA＝120°时，不难得到∠BAF＝30⁰，由上述知：tan∠BAF＝－b/2，得到b=－2√3/3.

      同时不难证得△BAF∽△CEO，进一步有：AB/CE＝AF/OE，又由（2）知：

OE=x_D=h+k/a=1/a(ah+k)，

AF=OF=x_B=－b/(2a)，且ah=－b/2，

所以：

      下面给出参考答案的解法（与本公众号的解法，略有不同）

参考答案：

【反思】式的化简与变式是解决问题的重中之重，本题的解题思路非常明朗，但如果不注意运算技巧，将会带来巨大的计算量，本解析不直接采用第一小题得到结论，而直接从设顶点式出发，大大地减少了计算量.

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