2018年九下质检系列——福建漳州压轴(倒一 )
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（2018·福建漳州九下质检倒一压轴）
如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OC上动点（与点O不重合），作AF⊥BE，垂足为G，交BC于F，交BO于H，连接OG，CG.
（1）求证：AH＝BE；
（2）试控究：∠AGO的度数是否为定值？请说明理由；
（3）若OG⊥CG，BG＝√5，求△OGC的面积.
【图文解析】
（1）常规题，简析：
法一：如下图示，
法二：如下图示，显然有：
（2）∠AGO＝450.（证法多种，本公众号已有多篇文章说明，主要思路有：辅助圆、旋转、对称等，下面仅给出几种图析）.
不难得到△AOH∽△BGH，得到AH：BH＝OH：GH，即AH：OH＝BH：GH，如下图示：
从而又可得到：△ABH∽△OGH，所以∠AGO＝∠ABO＝450.
法三～法十：利用旋转（或构造全等，类似于旋转，至少有八种以上的方法，解法均类似，下面例举几种）.
旋转法1.
通过全等和四边形内角和为3600，可证明G、E、G’三点共线.
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下面还有，继续……
……，将上述图形往另一方向旋转900也均可.
实际上，与∠AGO相关的三角形均可以顺时针或逆时针旋转900，甚至构造一个与之有关的三角形，然后通过旋转也可（如下图示），至少有八种以上的解法.
（3）（再现试题：若OG⊥CG，BG＝√5，求△OGC的面积.）
当OG⊥CG时，如下图示：
法一：如下图示，通过相似或三角函数的定义，不难证得AG/BG＝BG/FG，得AG×FG＝BG2＝5.
而AG、FG，与所求的△OCG面积相关的边有OG和CG，又恰好在两三角形中，如下图示：
同时，有：
可以证得△AOG∽△CFG，得到AG：CG＝OG：FG，从而CG×OG＝AG×FG＝5.
因此所求的△OCG的面积为0.5×CG×OG＝2.5.
法二：（只做简要图解）.
可得到tan∠BAF＝tan∠FBG=1/2.
其中m=√5/2
进一步，可得OC＝（√10）m.
再进一步通过如下图示的△CFG∽△AFC，得到CG：AC＝FG：CF.
或：
得到OG：CG＝1：2.
相关数据代入，即可求出……
【反思】正方形的对称性、特殊性质及所含的45度角，融合旋转、对称等给我们留下了太多想像的空间，历年中考试题中以这些为真正最终目的考查的层出不穷，熟练掌握其解题思路与本质显然是非常重要的.
下面给出试题的参考答案：
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