2018年九下质检系列——福建漳州压轴(倒二 )

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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（2018·福建漳州九下质检倒二压轴）

已知抛物线y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为直线x=-2.

（1）b=________；（用含a的代数式表示）

（2）当a=－1时，若关于x的方程ax²+bx+c=0在－3<x<1的范围内有解，求c的取值范围；

（3）若抛物线过点（－2，－2），当－1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值.

【图文解析】

(1)简析：由抛物线的对称轴公式x＝－b/(2a)=-2，得到b=4a.

(2)当a=-1时，b=-4，方程为－x²-4x+c=0，其方程“在－3<x<1的范围内有解”，等价于“抛物线y=－x²-4x+c与x轴的交点在－3<x<1的范围内”有解，同时△＝16+4c≥0，得到c≥－4，结合如下的图象.

当然也可用以下方法(思路相同)：

当a=-1时，b=-4，方程为－x²-4x+c=0，即x²+4x=c其方程“在－3<x<1的范围内有解”，等价于“抛物线y=x²+4x(顶点为(-2，-2))与直线y=c在－3<x<1的范围内有交点”有解，结合如下的图象. 不难得到：-4≤ c< 5.

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下面还有，继续……

方法三：由原方程，得c=x²+4x=(x+2)²-4.所以c可看作是x的二次函数. 即原试题可看作当x在－3<x<1的范围内时，c的取值范围，而当x= -2时，c = -4，当x= 1时，c= 5. 结合由图像可知： -4≤ c< 5.

(当然本题也可直接利用根与系数的关系或求出方程的根进行判断求解.)

方法四：(因根与系数的关系属于选学内容，这里不做分析，仅用最基本的求根公式来解析)

由上述知：原方程可化为x²+4x=c，配方，得：(x+2)²=c+4,显然当c+4≥0即c≥-4时，方程的根为x=-2±√(c+4)，由题意(-3<x<1)知：－3<-2±√(c+4) <1即-1<±√(c+4) <3，即-1<-√(c+4) <3或-1<√(c+4) <3，又√(c+4) ≥0，所以0≤√(c+4) <1或0≤√(c+4) <3，综合得到0≤√(c+4) <3，解得-4≤ c< 5.

(3)原题再现：若抛物线过点(-2，-2)，当－1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值.

由“抛物线过点(-2，-2)及对称轴为x=-2”可得抛物线为y=a(x+2)²-2=ax²+4ax+4a-2.

法一：根据a的符号，分两种情况:

当a>0时，如下图示：

由图像可知：4a-2=4.

解得：a=3/2.

当a<0时，如下图示：

由图像可知：4a-2=-4.

解得：a=-1/2.

综上所述，a=3/2或-1/2.

法二：当x=-1时，y=a-2；当x=0时，y=4a-2.

由于抛物线在－1≤x≤0连续平滑过渡(整条抛物线更是)的，因此不论开口向上或向下，当－1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值(为4)必为这两点之中的一个点.