一元二次方程的解法(4) 根与系数的关系

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一、从目的谈起

例、已知m、n是方程x²-3x-1=0的两个不相等的实数根，求m²+n²的值.

解法1 令a=1，b=-3，c=-1.

…大量计算，答案却简单，不划算.

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二、从求根公式出发

……平方差公式

注：学生掌握计算过程.

解法2令a=1，b=-3，c=-1.

∴ m²+n²=(m+n) ²-2mn=3²-2×(-1)=11.

……解法对比，没有对比就没有伤害！

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三、从因式分解法出发

(x-1)( x+2)=0

x-1=0或x+2=0

∴x₁=1，x₂=-2

(x- x₁)( x- x₂)=0

x²-(x₁+x₂) x+x₁x₂=0

   对照——提升

ax²+bx+c=0. 

四、典例

1. 若关于x的方程x²+(k-2)x+k²=0的两根互为倒数，则k的值为_-1_.

解析：注意前提条件需保证根的判别式大于或等于0.

△=b²-4ac

= (k-2)²-4 k²

= -4k+1>0→k<1/4.

 x₁x₂=c/a= k²=1→k=1.

      ∴k=-1.

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下面还有，继续……

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〖拓展〗

  已知关于x的一元二次方程x²-2x+2m-1=0的两实数根之积为正数，则实数m的取值范围是____.

【答案】0.5< m<1.

2. 已知m，n是方程x²-3x-5=0的两个实数根，则m ²+mn-3m的值为_0__.

解析：学完方程的解法，不要忘记了方程根的意义哦.

m²-3m-5=0，mn=-5.

→m ²+mn-3m=0.

〖拓展〗

  已知m，n是方程x²+2x-2018=0的两个实数根，则m ²+ 3m +n的值为_____.

【答案】2016.

五、常见公式.

 a²+b²=(a+b) ²-2ab；

  1/a+1/b=(a+b)/ab；

  a²b +ab²= ab (a+b). 

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