实际问题与一元二次方程
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实际问题与一元二次方程
一、实例结合，给出公式
1.增长率问题
(1) 一颗苹果5元，每次涨价幅度为20%，
则第一次涨价后的价格为5×(1＋20%)=6，
第二次涨价后的价格为6× (1＋20%)=5×(1＋20%)2=7.2．
(2) 如果增长率问题中的基数为a，平均增长率为x，
则第一次增长后的数量为a(1＋x)，
第二次增长后的数量为a(1＋x)2．
(3) 如果下降率问题中的基数为a，平均下降率为x，
则第一次下降后的数量为a(1-x)，
第二次下降后的数量为a(1-x)2．
例、某图书馆2016年图书借阅总量是7 500本，2018年图书借阅总量是10 800本. 求该图书馆的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率.
解析：设该图书馆的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率为x.
则，2017年的图书借阅总量为7500(1＋x)；
2018年的图书借阅总量是在2017年的基础上再×(1-x).
列方程得，7500(1＋x) 2=10800.
[细节]如何计算更便捷？——每一步先约分化简，再计算.
7 500(1＋x) 2=10 800
75(1＋x) 2=108……同除100
25(1＋x) 2=36……同除3
(1＋x) 2=36/25
1＋x=
∴x1=1/5=20%，x2=-11/5(不合题意，舍去).
答：该图书馆的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率为20%.
2. 传播问题
知识点1在病毒传播过程中，传染源在一轮传染后并未消失. 若开始时传染源为1，传染速度为x，则一轮后被感染的有1+1•x(原来的+新的)；第二轮传染时，传染源为1+1•x，传染速度还是x，则二轮后被感染的有(1+1•x)+(1+1•x)x(原来的+新的)=(1＋x)2.
知识点2在细胞分裂问题中，细胞分裂后消失了. 若开始时分裂源是1，分裂的速度是x，则一轮分裂后是x(没有原来的)；第二轮分裂时，分裂源为x，分裂速度还是x，则二轮分裂后是x2.
例、(人教版课本探究1)有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
解析：请先判断它是知识点1还是知识点2的类型呢？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
传染源 | 感染人数 | |
第一轮 | x | 1＋x |
第二轮 | 1＋x | (1＋x)2 |
列方程得，(1＋x)2=121.
解得，x1=10，x2=-12(不合题意，舍去)
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人.
如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有121×(1＋x) =1 331个人患流感.
3. 计数问题
例1、新年里，某小组成员之间互送贺年卡. 若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组共赠送贺年卡72张，此小组的人数为______.
解析：设小组共有x个人，则每人送出(x-1)张，共送出x(x-1)张.
列方程得，x(x-1)=72
解得，x1=9，x2=-8(不合题意，舍去)
答：小组共有9个人.
例2、某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
解析：设应邀请x支球队参加比赛.
[细节] A队与B队，B队与A队算一场.
列方程得，x(x-1)/2=28
解得，x1=8，x2=-7(不合题意，舍去)
答：应邀请8支球队参加比赛.
4. 数字问题
知识点一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为10b+a，若交换两个数位上的数字，得到的新两位数为10a+b.
例、一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的积736，求原来的两位数.
解析：设这个两位数的个位数字为a，十位数字为(5-a).
则，原来的两位数为10(5-a)+ a，
新两位数为10 a +(5-a).
列方程得，[10 a +(5-a)][ 10(5-a)+ a]=736
解得：x1=2，x2=3.
答：这个两位数是23或32.
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