八下尖子生培优系列——一次函数(6)

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【例1】我们知道对于x轴上的任意两点A（x₁，0），B（x₂，0），有AB=|x₁﹣x₂|，而对于平面直角坐标系中的任意两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），我们把|x₁﹣x₂|+|y₁﹣y₂|称为P_l，P₂两点间的直角距离，记作d（P₁，P₂），即d（P₁，P₂）=|x₁﹣x₂|+|y₁﹣y₂|．

（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（1，3），则d（O，P）=　　；

（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；

（3）试求点M（2，3）到直线y=x+2的最小直角距离．

【分析】（1）直接利用题中的新定义计算即可得到结果；

（2）利用题中的新定义列出x与y的关系式，画出相应的图象；

（3）根据新的运算规则知d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣3|=|x﹣2|+|x+2﹣3|=|x﹣2|+|x﹣1|，由绝对值的几何意义知：|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和1所对应的点的距离之和，显然其最小值为1．

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【解】

(1)d(O，P)=|0﹣1|+|0﹣3|=4；

(2)∵O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，

∴|0﹣x|+|0﹣y|=|x|+|y|=2，

      所有符合条件的点P组成的图形如图所示；

（3）∵d=|x﹣2|+|y﹣3|

             =|x﹣2|+|x+2﹣3|

             =|x﹣2|+|x﹣1|

∴由于|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上实数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，其最小值为1．

∴点M（2，3）到直线y=x+2的直角距离为1．

【反思】绝对值的几何意义，弄清题中的新定义是解本题的关键．

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【例2】某机动车出发前油箱内有油42L，行驶若干小时后，在途中加油站加油若干升．油箱中余油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，根据如图回答问题：

（1）机动车行驶几小时后加油？加了多少油？

（2）试求加油前油箱余油量Q与行驶时间t之间的关系式；

（3）如果加油站离目的地还有230km，车速为40km/h，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．

【分析】

(1)根据函数图象的横坐标，得答案；根据函数图象的纵坐标，得加油量；

(2)根据待定系数法，可得解析式；

(3)根据单位耗油量乘以行驶时间，可得行驶路程，再进行比较．

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下面还有，继续……

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【解】（1）由横坐标看出，5小时后加油，由纵坐标看出，加了36﹣12=24（L）油；

（2）设解析式为Q=kt+b，将（0，42），（5，12）代入函数解析式，得，解得．

所以所求函数解析式为Q=42﹣6t.

（3）够用，理由如下：

单位耗油量为36/6=6，

6×40﹣230=240﹣230=10＞0，

还可以再行驶10千米，

因此油够用．

【反思】理解坐标系中横、纵轴所表示的量的意义，是解题关键．

【练习1】小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）小红家到舅舅家的路程是_____米，小红在商店停留了_______分钟；

（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快，最快的速度是多少米/分？

（3）本次行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？

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【解】（1）根据图象舅舅家纵坐标为1500，小红家的纵坐标为0，所以小红家到舅舅家的路程是1500米；同时根据题意，小红在商店停留的时间为从8分到12分，故小红在商店停留了4分钟．故答案为：1500，4；

（2）根据图象，当12≤x≤14时，直线最陡，故小红在12﹣14分钟最快，速度为（1500-600）/（14-12）＝450米/分．

（3）由图可得：小红共行驶了1200+600+900=2700米，共用了14分钟．

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【练习2】为一位旅行者在早晨8时从城市出发到郊外所走的路程s（km）与时间t（时）的变量关系的图象．根据图象回答问题：

（1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是________；

（2）9时走的路程是_______km，12时走的路程是________km；

（3）他在途中休息了_______h；

（4）他从休息中直至到达目的地这段时间的平均速度是多少？

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【解】（1）时间是自变量，路程是因变量；

（2）由图可知：9时，12时所走的路程分别是4千米，15千米；

（3）根据图象可得，该旅行者休息的时间为：10.5﹣10=0.5（小时）；

（4）根据图象得：（15﹣9）÷（12﹣10.5）=4（千米/时）．

答：他从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度是4千米/时．

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