2018年九下南京鼓楼区一模——圆相关

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（2018·南京鼓楼区一模）在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法．

【问题提出】 

求证：如果一个定圆的内接四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值．

【从特殊入手】

我们不妨设定圆O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD． 请你在图①中补全特殊位置时的图形，并借助所画图形探究问题的结论．

【问题解决】

已知：如图②，定圆O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AC⊥BD.求证：__________．

【图文解析】

（1）

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 特殊情况，可以如图，当AC和BD是直径时，易知四边形ABCD是正方形显然有:

   AB²+CD²=AD²+BC²

          =AC²=（2R）²=4R²；

（2）有（1）易知应该求证：

 AB²+CD²=AD²+BC²=4R²

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【拓展与变式1】

这是一个很老的题了，提供2014年厦门中考的相关题目，仅供练习：

（2014·厦门） 已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．

（1）如图，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；

（2）如图，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2 ，DC＝4，求⊙O的半径．     

【拓展与变式2】

如图，以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE长．

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