中考复习冲刺系列——纯几何压轴选解（1）
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中考冲刺——纯几何压轴问题（1）
（本文略去前面简单的小题）
【试题】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2√3，BC=2，若P是以AB为直径所作半圆上由A沿着半圆向B运动的一点，连接CP，过P向下做PM⊥CP，且有PM=0.5CP，如图示，求点P运动过程中，点M的运动路径长.
（——试题选自《顶尖中考数学微专题》P.83的拓展变式2）
【图文解析】
又是一道典型的“旋转相似”题（实际上几乎所有的动点问题如果涉及相关计算，多数可心转化为“旋转相似”），本公众号已有多篇（超过15篇）这方面的文章，有兴趣的朋友可以通过本文开头提供的方法输入“关键词”快速查找相应的文章.
本题只作简单解析：
首先证明：随着点P在半圆上运动，点M的运动路径也为半圆.
由于主动点P是在圆弧上运动，所以考虑问题时应考虑圆心，为此可从特殊位置入手找到添加辅助线的方法及一般性的解题思路.如下图示：
得到特殊情况且与圆心O有关的直角三角形OCD，显然有△OCD∽△PCM，且OD＝0.5OC，CD＝（√5OC）/2，进一步得到：CD：OC＝2/√5.
接下来考虑一般情况，如下图示：
由PM＝0.5CP，且△CPM为直角三角形，不难得到CP：CM＝2/√5，所以有CD：OC＝CP：CM，同时tan∠PCM=tan∠OCD＝＝2/√5.即∠PCM为定角，进一步可得∠PCO＝∠MCD.
综合上述条件，可得：△PCO∽△MCD（“SAS”），所以OP：MD＝OC：CD＝2/√5，又OP为半圆O的半径，根据已知条件不难得到OP＝0.5AB＝2，所以MD＝√5/2×OP＝√5（定长），而D点为定点，因此点M应在以D为圆心，以√5为半径的半圆上运动。如下图示：
所以所求的路径长为圆D的半圆弧长，为√5π.
下面再次通过动画，体会路径问题与已知动点的联系.
【拓展与延伸】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2√3，BC=2，若P是以AB的中点为圆心且与边AC相切的圆上的一个动点，连接CP，过P向下做PM⊥CP，且有PM=0.5CP，如图示，求点P运动过程中，点M的运动路径长.
解法类似，答案为√5π.
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