中考复习冲刺系列——纯代（函）数压轴选解（2）

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（试题）已知二次函数y=ax²+bx+c．

（1）若a=2，c=﹣3，且二次函数的图象经过点（﹣1，﹣2），求b的值；

（2）若a=2，b+c=﹣2，b＞c，且二次函数的图象经过点（p，﹣2），求证：b≥0；

（3）若a+b+c=0，a＞b＞c，且二次函数的图象经过点（q，﹣a），试问当自变量x=q+4时，二次函数y=ax²+bx+c所对应的函数值y是否大于0？请证明你的结论．

【解析】

(1)简析：当a=2，c=﹣3时，二次函数为y=2x²+bx﹣3，再把点（﹣1，﹣2）代入上述解析，得：﹣2=2×（﹣1）²+b×（﹣1）﹣3，解得b=1.

(2) 当a=2，b+c=﹣2(即c=－2－b)时，二次函数为y=2x²+bx﹣b﹣2.

      因为该函数的图象经过点（p，﹣2），所以﹣2=2p²+bp﹣b﹣2，即2p²+bp﹣b=0，

      于是，可以将p看作为方程2x²+bx﹣b=0的一个根，根据题意，显然p的值是存在，即关于x的方程2x²+bx﹣b=0总有实数根（本公众号已经发表过多篇类似的文章——可搜索关键词“判别式的妙用”），所以有：

△=b²+8b=b（b+8）≥0……①．

      又因为b+c=﹣2（有c=－b-2），b＞c，所以b＞﹣b﹣2，即b＞﹣1，所以b+8＞0.……②.

      结合①②知：b≥0.

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下面还有，继续……

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（3）先分析试题条件：由“a+b+c=0，a＞b＞c”可知：a＞b≥0，c<0.同时有a+c=-b；

      由“二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（q，﹣a）”，可得：

aq²+bq+c＝－a．

即aq²+bq+c+a=0，

即aq²+bq－b=0

所以q可看作方程ax²+bx－b =0的根，类似第（2）小题有：

      △=b²+4ab≥0，

      综合所述，所以当x=q+4时，二次函数y=ax²+bx+c所对应的函数值大于0．

      当然本题也可直接用函数图象及相关性质解决问题。下面给个提示：

抛物线必过（1，0）点，抛物线开口向上，与y轴交点为y轴的负半轴（或原点）上，而(q，－a)点在x轴下方，同时q+4可以看作是q向右平移4个单位，由此可以画出条件的草图，然后再利用函数图象的性质解题。

【点评】综合性强，考查了一元二次方程的概念与二次函数的图象与性质及点的坐标的意义，解题时可充分利用判别式和求根公式，以及式的相关恒等变形等，也充分利用图象进行“数形结合”帮助理解。 

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