2018江苏滨海一调倒一解析(抛物线与等腰直角三角形）
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（2018滨海）如图，抛物线y=ax2+bx过点A(-4,0)，B(-1,3)两点，点C、B关于抛物线对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，且位于X轴下方，当△ABP面积为15时求出P点的坐标；
（3）若点M在直线BH上运动，点N在X轴上运动，当点C、M、N为定点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时点N的坐标.
【分析】
（1）把A、B两点的坐标带入抛物线解析式即可求出关系式；
（2）因为P点是抛物线上一动点，且位于x轴下方，所以设出点P（x，－x2-4x）表示出三角形面积的关系式，求出点P坐标即可；
（3）分别以C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，求出点N的坐标.
【解答】
（1）把x=-4，y=0；x=-1，y=3代入y=ax2+bx解之得a=-1，b=-4，所以函数关系式为y=－x2－4x.
（2）法一:(宽高公式)如图过点P作X轴垂线交直线AB于点D,过点B作 BE⊥PD垂足为E.设点P（x，－x2-4x）
∵过A、B两点的直线为y=x+4而p点在x轴下方
法三:（作高法）如图过点A作直线l⊥AB,由A(-4,0)，B(-1,3)得△ABC是等
腰直角三角形且AB=3√2，而S△ABP=15，所以P点在平行于AB且到AB的距离为5√2的直线上，又因为P点在抛物线上，所以P点是该直线与抛物线的交点。如图x轴下方直线l取点D,过点D作DE⊥X轴于E,
∵BH⊥x轴，DE⊥X轴 ,AD⊥AB, 易证 △ABH∽△DAE
（3）以点C、M、N为顶点的三角形为直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方
时，如图3-1，CM=MN,∠CMN=90°，则易证△CMB≌MHN,所以BC=MH=2，BM=NH=1所以N（-2,0）
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3-2，同理△CMB≌△MNH,所以BC=MH=2，BM=NH=5所以N（4,0）
③以N为直角顶点，且N在y轴左侧时作辅助线如图3-3，易证△CNE≌△
NMF,所以NE=MF=3，CE=AF=1，所以N(-4，0)
④以N为直角顶点，且N在y轴右侧时作辅助线如图3-4，同理可得△CNE≌△NMF,所以EN=MF=HN=3，ON=3-1=2，所以N(2，0)
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上，以C、M、N顶点的三角形为直角三角形时，N的坐标为（-2,0）或（4,0）或(-4，0或(2，0).
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