中考复习冲刺系列——纯代（函）数压轴选解（3）

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（试题）已知，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（s，t）（s≠0）．

（1）当s=2时，t=1时，求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）若（1）中的抛物线与x轴交于点B，过B作OA的平行线交抛物线于点D，求△BDO三条高的和；

（3）当点A在抛物线y=x²﹣x上，且﹣1≤s＜2时，求a的取值范围．

【解析】

（1）由题意可知A（2，1），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）²+1，由于抛物线过原点，所以将（0，0）代入即可求出a=－1/4，所以所求的抛物线解析式为：y=－1/4（x﹣2）²+1.

（2）本小题仍然是基础题，简析：

      当y=0时，﹣14（x﹣2）²+1＝0，得x=4或x=0，得到B（4，0）.

      根据A（2，1）可求出OA的直线解析式为y=x/2，

      因此可设直线DB为y=x/2+m,再将点B（4，0）代入可得m=－2，所以直线DB为y=x/2－2，联立直线DB与抛物线的解析式，得：

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（3）由点A在抛物线y=x²－x得：t=s²﹣s，由于A（s，t）是y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点，所以y=a（x﹣s）²+t，由于该抛物线经过原点（0，0），所以有as²+t=0，得到t=－as²，结合上述t=s²﹣s得：s=（a+1）s²，再利用s的范围（﹣1≤s＜2）即可求a的范围．

当s=0时，此时，a全体实数，

当s≠0时，此时﹣1≤s＜0或0＜s＜2，再由s=（a+1）s²得：

1＝（a+1）s，

所以a=1/s－1

      根据反比例函数性质，结合a=1/s的图象，可得：a≤﹣2或a＞－1/2.

      综上所述，a≤﹣2或a＞﹣1/2，

【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是结合二次函数和反比例函数的图象，熟练运用二次函数和反比例函数的性质，综合运用了待定系数法，解方程组等知识．

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