一次函数背景下的点和线

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一次函数背景下的点和线

固始永和　夏平红

知识背景：八下学完待定系数法后，一次函数的表达方式——图像解析式，就互为因果的联系起来。函数的图像和解析式的关系，是帮助学生建立数形结合思想的典范。

探究发现：

1、如图，已知点A（-1,2），B（2,4），C（3,-2）.                 

（1）求直线AB、直线AC、直线BC的解析式；

（2）求S_△ABC

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解：（1）用待定系数法，易得：

直线AB：y=2/3x+8/3

直线AC：y=-x+1

直线BC：y=-6x+16

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（2）方法一：如图，过点A作平行于x轴的直线y=2，交BC于点D.

∵直线BC：y=-6x+16

∴D（7/3，2）

∴AD=10/3

∴S_△ABC =10/3Х[4-(-2)]Х0.5=10

方法二：过点C作平行于y轴的直线x=3，交直线AB于点E.

∵直线AB：y=2/3x+8/3

∴E（3，14/3）

∴CE=20/3

∴S_△ABC=20/3Х（4-1）Х0.5=10

也可以过点B作平行于y轴的直线x=2，或者使用补图法，如下图：

小结：线是点确定的线，点是线相交的点，形是点确定的线围成的形。

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应用举例：

2、如图，一次函数y=-0.5x+3的图像，与x轴y轴分别交于A、B两点。若点P(m+1,m-1)在△ABC的内部，求m的取值范围.

分析：要把点围在“形”中，先画出相关的线，水平的y=3，竖直的x=6，这样就将点P围在矩形中，还需画出竖直的x=m+1交直线AB于点Q，则点P的纵坐标小于Q点的纵坐标。

解：∵直线AB：y=-0.5x+3

∴Q（m+1，-0.5m+2.5）

由图可知：

① 0<m+1<6

② 0<m-1<3

③ m-1<-0.5m+2.5

解不等式组得：1<m<7/3.

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拓展延伸：

3、已知点A（-3,2），B（2,1），直线y=x+1上的一个动点C.

(1)要使以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形。这样的C点有几个？请求出其中两个的坐标。

(2)在坐标平面内找一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形。这样的D点可以找到几个？请求出其中两个的坐标。

解：(1)符合要求的C点有四个.

情况一：以AB为直角边.如下图，

过A、B两点作AB的垂线交直线y=x+1于点C₁、C₂.

用待定系数法，易得：

直线AB：y=-0.2x+1.4

∵A（-3,2），B（2,1），且垂直

∴直线AC₁：y=5x+17

直线BC₂：y=5x-9

∴C₁（-4,-3），C₂（2.5,3.5）

情况二:以AB为斜边（如下图）

以AB为直径作圆交直线y=x+1于点C₃、C₄.

作C₃G⊥y轴于点G,作C₄H⊥y轴于点H，连接EF、EC₃、EC₄.

由题可知：

直线AB：y=-0.2x+1.4

直线C₃C₄：y=x+1

∴∠C₃FG=∠C₄FH=45°，F（0,1）

∵A（-3,2），B（2,1）

∴E（-0.5,1.5）

  AB=√26 EC₃=0.5√26

∴直线EF：y=-x+1

  EF=0.5√2

∵直线EF和直线C₃C₄解析式中k值乘积为-1

∴EF⊥C₃C₄

∴C₃F=√6

∴C₃G=FG=√3

∴C₃（√3, 1+√3），C₄（-√3, 1-√3）

因C₁、C₂坐标的计算比较容易，C₃、C₄坐标的计算相对麻烦一些，所以八年级我只安排求其中两个的坐标。

(2)符合要求的D点有四个

情况一：AB为矩形的边时有两个（如下图）.

过A、B两点作AB的垂线交直线y=x+1于点C₁、C₂. 由⑴得：

直线AB：y=-0.2x+1.4

直线A C₁：y=5x+17

直线B C₂：y=5x-9

C₁（-4,-3），C₂（2.5,3.5）

∴过点C₁的直线C₁D₁：y=-0.2x-4

过点C₂的直线C₂D₂：y=-0.2x+4

∵直线B C₂与直线C₁D₁交于D₁

直线A C₁与直线C₂ D₂交于D₂

∴D₁（-4,-3），D₂（2.5,3.5）

也可根据已知三点的坐标，通过平移得出D₁、D₂的坐标。

情况二:AB为矩形的对角线时有两个。

以AB为直径作圆交直线y=x+1于点C₃、C₄.做射线C₃E交圆于点D₃.

作射线C₄E交圆于点D₄.

由⑴题得：

C₃（√3, 1+√3），C₄（-√3, 1-√3）

∵E（-0.5,1.5）

根据坐标平面内，两点和两点间所连线段中点的坐标关系

∴D₃（-1-√3,2-√3）

D₄（-1+√3, 2+√3）

小结：形的特点决定线和点的位置，位置决定坐标.

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教学反思：一次函数、反比函数、二次函数的相关习题，都是以点、线、形为基本元素组合而成的。由点定线，由线定形；也可以由形定线、定点。从一次函数开始，就要向学生渗透这种思想，帮助学生用函数的思想去认识点、线、形之间互相依存的关系。这样不仅能很好的解决直接与三个函数有关的问题，还能用函数的方法去解决几何图形中的计算和证明。

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