尖子生之路[七上系列]——有理数(12) ——数轴、绝对值与距离相关(2)
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尖子生之路[七上系列]——有理数(12)
——数轴、绝对值与距离相关(2)
1.阅读下列材料并解决有关问题:我们知道
现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子,如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时,可令m+1=0和m﹣2=0,分别求得m=﹣1,m=2(称﹣1,2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值).零点值m=﹣1和m=2可将所有的数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:(1)m<﹣1;(2)﹣1≤m<2;(3)m≥2.从而化简式子|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况:
(1)当m<﹣1时,原式=﹣(m+1)﹣(m﹣2)=﹣2m+1;
(2)当﹣1≤m<2时,原式=m+1﹣(m﹣2)=3;
(3)当m≥2时,原式=m+1+m﹣2=2m﹣1.
通过以上阅读,请你解决以下问题:
(1)分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值;
(2)化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|;
(3)求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值.
【解析】(1)可设x﹣5=0,x﹣4=0,解得:x=5和x=4.所以|x﹣5|和|x﹣4|的零点值分别为5和4;
(2)根据“阅读材料”分为x<4、4≤x<5、x≥5三种情况化简;
当x<4时,原式=5﹣x+4﹣x=9﹣2x;
当4≤x<5时,原式=5﹣x+x﹣4=1;
当x≥5时,原式=x﹣5+x﹣4=2x﹣9.
综上讨论,原式=
(3)根据(2)中的化简结果判断即可.
当x<4时,原式=9﹣2x>1;
当4≤x<5时,原式=1;
当x≥5时,原式=2x﹣9>1.
所以代数式的最小值是1.
当然也可用上一篇文章(数轴与绝对值、距离相关(1)——点击直接打开)中的方法直接求解:
【反思】本题主要考查的是绝对值的化简,根据例题进行解答是解题的关键.
【拓展延伸】
1.若数轴上两点A、B表示的数为x、-4,
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ;
②若该两点之间的距离为2,那么x值为 .
2.|x+1|+|x﹣2|的最小值为 ,此时x的取值是 ;
3.当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时,求相应x的取值范围,并求出最小值.
3.已知(|x+1|+|x﹣2|)(|y﹣3|+|y+2|)=15,则x﹣2y的最大值 和最小值 .
【答案】
1.①|x+4| ②﹣6或-2
2.3;﹣1≤x≤2
3. 6;﹣7.
4.解:当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时,相应x的取值范围是-1≤x≤3,最小值是14.
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