尖子生之路[七上系列]——整式的加减（2） ——整式的概念相关（2）
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【例1】一个关于a、b的多项式，除常数项为﹣1外，其余各项的次数都是3，系数都为﹣1，并且各项都不相同，这个多项式最多有几项？请将这个多项式写出来．并先将它按字母a降幂排列，再把它按字母b升幂排列．
【分析】根据多项式的次数和系数、项数的概念确定这个多项式，再规定的字母进行升降幂排列即可．
【解】这个多项式最多有五项，
如：﹣a3﹣ab2﹣a2b﹣b3﹣1，
按字母a降幂排列为：
﹣a3﹣a2b﹣ab2﹣b3﹣1；
按字母b升幂排列为：
﹣1﹣a3﹣a2b﹣ab2﹣b3．
【反思】理解多项式的相关概念是解此题的关键．
【例2】已知多项式A =（a﹣1）x5+x|b+2|﹣2x2+bx+b（b≠﹣2）是关于x的二次三项式，求a、b的值．
【分析】根据多项式的相关概念，得到关于a、b符合的等式，从而得到a、b的值，进一步代入计算可得．
【解】依题意，得a﹣1=0，解得a=1．
此时A ＝x|b+2|﹣2x2+bx+b．
下面分三种情况讨论：
(1)当|b+2|=2时，得b=0或-4，
①当b=0时，A＝x2-2x2=-x2，不是多项式
②当b=-4时，A＝x2-2x2-4x-4＝-x2-4x-4，此时A是二次三项式，符合题意；
(2)当|b+2|=1时，得b=﹣1或b=﹣3，
①当b=-1时，A＝x-2x2-x-1=-2x2-2，不是二次三项式，不符合题意；
②当b=-3时，A＝x-2x2-3x-3＝-x2-3x-3，此时A是二次三项式，符合题意；
（3）当|b+2|=0时，得b=﹣2，不合题意（已知条件b≠﹣2），舍去.
综上所述，a=1，b=﹣4或a=1，b=﹣3
【反思】本题需要理解概念和题意，并渗透了分类讨论思想，注意“不重不漏”．
【例3】已知关于x的多项式mx2﹣mx﹣2与3x2+mx+m的和是单项式，求m2﹣2m+1的值．
【分析】根据题意和单项式的概念，建立关于m的相关等式（方程）即可解决问题．
【解】（mx2﹣mx﹣2）+（3x2+mx+m）
=mx2﹣mx﹣2+3x2+mx+m
=（m+3）x2+（m﹣2）
∵两式子的和为单项式，
∴m+3=0或m﹣2=0，
得到m=﹣3或m=2，
当m=﹣3时，
原式=（m﹣1）2=（﹣4）2=16；
当m=2时，
原式=（m﹣1）2=12=1．
综上所述，所求的值为16或1.
【反思】理解概念和题意，用转化的思想解决问题，并注意分类讨论思想在本题中的应用．
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