2018年中考江苏常州第18题——填空压轴（三角形与相似）
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2018年中考江苏常州第18题
（2018·常州）如图,在△ABC纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长的取值范围是_______．
【题干精析】
已知三角形三边，不难判断此三角形是钝角三角形（22+42＜52，且∠ACB为钝角），根据题意，不难得到必须是以下4种不同的剪法：
【图文精解】
由于∠ACB为钝角，由上图可知，当P在AC上运动时，当点P不与点A和点C重合时，都有PE∥BC，PG∥AB，∠APD=∠B，有三种相似，即△CPG∽△CAB，△APD∽△ABC，△APD∽△ABC．此时0＜PA＜4.
所以只需保证PD3这种剪法成立即可，即点D3能落在BC上即可．
当∠CPF=∠B时，点D3如果与B重合如上图示，则△CBP∽△CAB，
所以CB/AC＝CP/CB，得到CB2＝AC×CP，将相关数据代入，得22＝4（4-PA），解得PA＝3.
综上，AP的取值范围是：3≤PA＜4.
【方法精点】
1.相似的基本图形（最常见）和相关结论、图形延伸变式（位置变化）等务必要注意其中的变化规律，如下图示：
（之前的相关文章中已多次提及）
2.先求出特殊位置时的AP的值，从而再求得AP的取值范围，将运动的点转化为固定的点，从而降低问题的难度．
【拓展精深】
在ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有( ).
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】D.
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