2018年中考江苏常州第27题——倒二压轴（特殊三角形与作图计算）
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2018年中考江苏常州第27题
（2018·常州）(1)如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证:∠AFE=∠CFD;
(2)如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN(保留作图痕迹，不要求写作法）．
②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗?为什么?
【图文精解】
(1)基础题，只做图解，如下图示：
具体过程如下：
∵EK垂直平分BC，点F在EK上，
∴FC=FB，且∠CFD=∠BFD
∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠CFD
(2)【题干精析】
标注上已知条件，由Rt△GMN，可得直角三角形的相关结论，由P是MN的中点，可联想到中点相关的常用辅助线，若与（1）的条件（D是BC的中点）相联系，又可得到对应的结论。
【图文精解】
(2)①联想到（1）的条件和结论，不难得到：作点P关于GN的对称点P‘，交GN于Q点，此时GN即为对称轴，并为PP’的垂直平分线，根据（1）的结论可得：∠GQM=∠PQN.从而Q点即为所求作的点，如下图示：
点Q就是所求作的点.
②在①的条件下，当∠G=60°时，可得到：
因此Q是GN的中点。
（证明此结论有多种证法，均属于基本常规题，这里略去）
具体过程如下：
由①作图可知，PN=HN，∠HNG=∠GNP=30°，可得ΔHPN为等边三角形.
又∵P为MN的中点，
∴HP=PN=PM，
∴∠QMN=30°=∠QNM，
∴MQ=QN.
又可得∠GMQ=60°，
∴ΔGMQ为等边三角形，
∴MQ=GQ.
∴GQ=QN，
即Q为GN的中点.
【方法精点】
1.等腰三角形的性质与判定，及垂直平分线的性质简单应用；
2.注意与第（1）的联系，充分利用第（1）题的结论；
3.特殊角（60°和30°）的应用
【拓展精深】
如图，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为边MN上的点，且PM＝0.5PN．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN(保留作图痕迹，不要求写作法）．
②在①的条件下，如果∠G=60°，求NQ：GQ的值.
【答案或提示】①与原题类似；②3：2.
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