2018年中考江苏常州第28题——倒一压轴（抛物线与动点、线）
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2018年中考江苏常州第28题
（2018·常州）如图，二次函数y=-x2+bx+2的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为(-4，0)，P是抛物线上一点(点P与点A、B、C不重合).
(1)b=________，点B的坐标是___________;
(2)设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM:MB=1:2?若存在，求出点P的横坐标;若不存在，请说明理由．(3)连接AC、BC，判断∠CAB与∠CBA的数量关系，并说明理由．
【题干精析】
(1)由该二次函数y=-x2+bx+2的图象与y轴交于C点，可得C（0，2）；
(2)由该二次函数y=-x2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，其中A（-4，0），只需将点A的坐标代入，得-(-4)2+b×（-4）+2=0，解得b=-5/6，得到解析为y=-x2-5x/6+2，进一步由y=0可得到B（3/2，0）；
(3)P是该抛物线上的动点（不与A、B、C重合），可设P（t，-t2-5t/6+2），其中t≠-4和0和3/2，这种设法是动点问题中最常用也是最基本的思路，当然对有一些试题也麻烦，但通用.
【图文精解】
(1)由题干精析，已经求出了b=-5/6，B(3/2，0).
(2)由已知条件（A（-4，0）、C（0，2），不难得到直线AC为y=x/2+2，根据已知条件“…PM：MB＝1：2…“可画出符合条件的草图，如下图示：
下面提供三种思路：
法一（通法，但计算量较大）：设P（t，-t2-5t/6+2），添加如下图示的辅助线（仅分析第一个图，另两个图的解题思路相同）：
则BD＝1.5-t，PD=-t2-5t/6+2.由△MBE∽△PBD可得ME：PD＝BE：BD＝MB：PB＝2：3（已知条件PM：MB＝1：2），得到ME＝2/3×PD＝-2t2-5t/9+4/3，BE=2/3×BD＝1-2t/3，进一步得到M点的坐标为（0.5-2t/3，-2t2-5t/9+4/3），然后代入直线AC的解析式y=x/2+2，结果方程无实数根.
类似分析以下两种情况：
和
法二（通法——与法一设法不同）
如下图示：
其他情况类似.
当然也可直接先设M点坐标（利用直线AC的解析式），但计算量均较大。
法三：（利用直线与抛物线相交得到P点坐标），如下图示：过P点作PQ∥AC。
由A、C两坐标与BQ：AQ＝1：1（由平行线分线段成比例定理结合已知条件不难求得），不难得到Q（-5/4，0），再由直线PQ∥直线AC（y=-x/2+2），不难求得直线PQ为y=x/2+5/8，最后利用直线PQ与抛物线的解析式求出交点P点横坐标，即可得到所求的答案，其他情形类似.
（3）由A、B、C三点坐标的特殊性，不难得到以下两种思路：
法一：
法二：
结论：∠CBA=2∠CAB
【方法精点】
1.平面直角坐标系中的线段比的转化，是常法通法，也是解题的关键，务必熟练掌握；
2.函数的动点问题的通法：“设、求、代“——可参考之前的多篇文章。
3.含参计算是解此类的问题的关键，务必过关，计算不过关，“一切免谈“！
4.第3问其实是几何中的常见的问题，一般至少有两种思路：“取长补短（倍长）法“
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