尖子生之路[七上系列]——整式的加减（6） ——整式的概念与找规律
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尖子生之路[七上系列]——整式的加减（6）
——整式的概念与找规律
【例1】观察下列单项式：﹣x，3x2，﹣5x3，7x4，…﹣37x19，39x20，…写出第n个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路．
（1）这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？
（2）这组单项式的次数的规律是什么？
（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？
（4）请你根据猜想，写出第2018个，第2019个单项式．
【分析】分别根据单项式的系数和次数的定义得到各个单项式的系数和次数，再根据系数和次数的规律得到第n个单项式的系数和次数。
【解】（1）这组单项式的系数依次为：﹣1，3，﹣5，7，…系数为奇数且奇次项为负数，故单项式的系数的符号是：（﹣1）n，
绝对值规律是：2n﹣1；
（2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．
（3）第n个单项式是：（﹣1）n（2n﹣1）xn．
（4）第2018个单项式是4035x2018，第2019个单项式是﹣4037x2019．
我们把某格中字母的和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x+y．回答下列问题：
（1）第2格的“特征多项式”为 ，第3格的“特征多项式”为 ；
（2）写出第5格的“特征多项式”与第6格的“特征多项式”，并求出第5格与第6格“特征多项式”的差．
（3）试写出第n格的“特征多项式”．
【分析】（1）仔细观察每格的特征多项式的特点，找到规律，利用规律求解；
（2）根据（1）得到的规律，可得到第5格与第6格所表示的“特征多项式”；
（3）由（1）可直接得到结论．
【解】（1）观察图形发现：
第2格的“特征多项式”为：9x+4y，
第3格的“特征多项式”为：16x+9y；
故答案为：9x+4y，16x+9y．
（2）由（1）中所求可得：
第5格的“特征多项式”为：（5+1）2x+52y=36x+25y，
第6格的“特征多项式”为：（6+1）2x+62y=49x+36y；
则第5格的“特征多项式”与第6格的“特征多项式”的差为：
36x+25y﹣（49x+36y）=36x+25y﹣49x﹣36y=﹣13x﹣11y；
（3）第n格的“特征多项式”为：（n+1）2x+n2y．
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