尖子生之路[七上系列]——一元一次方程（2） ——相关概念与等式的性质
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一元一次方程（2）
——相关概念与等式的性质
【相关结论】一元一次方程都可以变形为形如ax=b（a，b为常数，且a≠0）的方程，称为一元一次方程的最简形式．关于x的方程ax=b（a，b为常数，且a≠0）解的讨论：
当a≠0时，是一元一次方程，有唯一解x=b/a；
当a=0，且b=0时，它有无数多个解，任意数都是它的解；
当a=0，且b≠0时，它无解，因为任何数都不可能使等式成立．
（上述结论最好能熟练掌握并记住）
【例1】讨论关于当x的方程（a﹣4）x=2的解．
【分析】由定义知：应分a﹣4＝0和a﹣4≠0即分a=4和a≠4两种情况根据等式的性质分别考虑．
【解答】解：当a≠4 时，有唯一解x=2/（a-4）；当a=4 时，无解．
【点评】解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．
【练习1】老师在黑板上写了一个等式：（a+3）x=4（a+3）．王聪说x=4，刘敏说不一定，当x≠4时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由．
【解】他俩的说法正确，
当a+3=0时，x为任意实数，
当a+3≠0时，x=4．
【例2】我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x=﹣4的解为x=﹣2，而﹣2=﹣4+2，则方程2x=﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x=m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x=mn+n是“和解方程”，并且它的解是x=n，求m，n的值．
【分析】按照“新定义”列出等式（方程），再按照等式的性质求解．
【解】（1）∵方程3x=m是和解方程，
∴m/3=m+3，
两边都减去m，得-2m/3＝3，
两边都乘以-3/2，得m=-9/2．
（2）依题意，得：
﹣2n=mn+n且mn+n﹣2=n，
根据等式性质，得：
mn=3n且mn=2．
进一步，得到m=﹣3，n=﹣2/3．
【练习2】我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4的解为2，且2=4﹣2，则该方程2x﹣4是差解方程．
（1）判断3x=4.5是否是差解方程；
（2）若关于x的一元一次方程5x=m+1是差解方程，求m的值．
【解】（1）∵3x=4.5，∴x=1.5，
∵4.5﹣3=1.5，∴3x=4.5是差解方程；
（2）依题意，得m+1﹣5=(m+1)/5，
两边都减去(m+1)/5，得：
4(m+1)/5-5＝0，
两边都加上5，得
4(m+1)/5＝5，
两边再乘以5/4，得m+1=25/4．
两边再减去1，得m=21/4．
(注：例2和练习2的解法均用等式的性质来解，学了一元一次方程的解法后，就简易多了)
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