2018年湖南衡阳第12题——选择压轴（抛物线与特殊点、系数及特殊式子间的关系）
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2018年湖南衡阳第12题
如图，抛物线y=ax2+bx+c与轴交于点A(-1,0)，顶点坐标(1,n)，与轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：
①3a+b<0；②-1≤a≤-2/3；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【题干精析】
如图，由顶点坐标（1，n）可知，抛物线关于直线x=1对称，因此抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），与y轴交点在，之间（包含端点），可知2≤c≤3，且抛物线开口向下，a<0；同时还能得到y有最大值n；将点（1，0）及对称轴x=1代入解析式，可得a-b+c=0，b=-2a，从而得到3a+c=0。
图文精解】
①将b=-2a代入3a+b中，可得
3a+b=3a-2a=a，故①正确；
②由3a+c=0及2≤c≤3，
可得-1≤a≤-2/3，故正确；
③由图象开口向下及顶点坐标可知，当x=1时，y取得最大值，则当x=m时，a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故③正确；
④如图所示，抛物线的顶点为（1，n），则作直线y=n-1,直线与抛物线必有两个交点，即ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，故④正确。
【方法精点】
1、通过已知条件消去参数，将多参数问题转化为只含一个参数的问题，从而降低难度；
2、利用数形结合，通过图形观察将方程或不等式的解，直观且准确。
【拓展精深】
已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④（a+b+c）/(b-a)的最小值为3． 其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
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