三角形的内角与外角综合（1）——期末复习（1）——尖子生之路[八上系列]
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三角形的内角与外角综合（1）
——期末复习（1）
【例题】已知△ABC，D为△ABC所在平面上一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．
（1）若D点是△ABC中BC边上一点，如图1所示，判断∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
（2）若D点是△ABC中BC边的延长线上一点，如图2所示，判断∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
【分析】这实际上是一道基本题，只是表述方式不同，直接利用角平分线的定义和三角形内角和或外角和定理，即可求解．
（1）由BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，可得∠PBC＝0.5∠ABC，∠PCB＝0.5∠ACB，进一步得∠PBC+∠PCB＝0.5（∠ABC+∠ACB）＝0.5（180°－∠A），从而∠P＝180°－（∠PBC+∠PCB）＝……＝90°+0.5∠A．
（2）依据BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，可得∠PBC＝0.5∠ABC，∠PCD＝0.5∠ACD，又因∠P＝∠PCD－∠PBC，进一步得到∠P＝0.5（∠ACD－∠ABC）＝0.5∠A．
具体过程略去．
【拓展1】已知△ABC，D点是△ABC中AB边上一点， CP平分∠ACD，如图3所示．判断∠BDC、∠BPC、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
【分析】依据∠DPC是△ACP的外角，∠BDC是△ACD的外角，可得∠ACP＝∠DPC﹣∠A，∠DCP＝∠BDC﹣∠DPC，进一步得到∠A+∠BDC＝2∠DPC．
【解答】结论：∠A+∠BDC＝2∠DPC．理由如下：
∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠DCP，
∵∠DPC是△ACP的外角，∠BDC是△ACD的外角，
∴∠ACP＝∠DPC﹣∠A，
∠DCP＝∠BDC﹣∠DPC，
∴∠DPC﹣∠A＝∠BDC﹣∠DPC，
∴∠A+∠BDC＝2∠DPC；
【拓展2】已知△ABC，D点是△ABC中BA边延长线上一点，CP平分∠ACD，如图4所示．判断∠BDC、∠BPC、∠BAC之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
【分析】解法与思路与拓展1类似
【解答】结论：∠BAC+∠BDC＝2∠BPC＝2（180°－∠DPC）．理由略．
【拓展3】已知△ABC，若D点是△ABC外边BC上方的任一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．如图5所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
【分析】依据BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，可得∠DBP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCP，依据∠D+∠DBP＝∠P+∠DCP，∠A+∠ACP＝∠P+∠ABP，即可得到∠D+∠A＝2∠P．
【解答】∠D+∠A＝2∠P．理由如下：
∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠DBP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCP，
∵∠D+∠DBP＝∠P+∠DCP，∠A+∠ACP＝∠P+∠ABP，
∴两式相加，可得：∠D+∠A＝2∠P；
【拓展4】已知△ABC，若D点是△ABC外边BC正下方的任一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．如图6所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
【分析】解法与思路与拓展3类似．还可利用四边形内角和为360°（充分利用图中的常见基本图形）
【解答】结论：∠D－∠A＝2（180°－∠P）．或∠D-∠A+2∠P＝360°，理由略．
【拓展5】已知△ABC，若D点是△ABC内任一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．如图7所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
【分析】构造三角形，充分利用三角形外角的性质，因此可作射线PD，射线AP，分别交BC于E、F，如图7所示．依据∠BDE是△BDP的外角，∠CDE是△CDP的外角，可得∠BDC＝∠PBD+∠BPC+∠DCP，①∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，②再根∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP，即可得到∠BPC﹣∠BDC＝∠BAC﹣∠BPC，即2∠BPC＝∠BAC+∠BDC．当然也可直接利用四边形的内角和为360°解答．
【解答】结论：2∠BPC＝∠BAC+∠BDC．理由如下：
法一：如图7，作射线PD，射线AP，
∵∠BDE是△BDP的外角，∠CDE是△CDP的外角，
∴∠BDC＝∠PBD+∠BPC+∠DCP，①
同理可得，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，②
又∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP，
∴由②﹣①，可得
∠BPC﹣∠BDC＝∠BAC﹣∠BPC，
∴2∠BPC＝∠BAC+∠BDC．
法二：∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP，
四边形BPDC中，∠P+0.5∠ABD+0.5∠ACD+360°﹣∠D＝360°，
∴0.5∠ABD+0.5∠ACD＝∠D﹣∠P，
在四边形ABPC中，∠A+0.5∠ABD+0.5∠ACD+360°﹣∠P＝360°，
∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P＝0，
∴2∠P＝∠D+∠A．
【拓展6】
……
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