三角形的内角与外角综合（2）——期末复习（2）——尖子生之路[八上系列]
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三角形的内角与外角综合（2）
——期末复习（2）
【例题】如图1，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E
（1）填空：若∠B＝60°，则∠E＝ ；
（2）若∠B＝α，求∠E的度数；
（3）如图2，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．
【分析】与前一篇文章类似解法与思路
（1）根据角平分线的定义与三角形的外角性质可得∠E＝∠FAC﹣∠ACE＝0.5（∠DAC﹣∠ACB）＝0.5∠B＝0.5×60°＝30°；
（2）与（1）类似，∠E＝∠FAC﹣∠ACE＝0.5（∠DAC﹣∠ACB）＝0.5∠B＝0.5α；
（3）同样各得∠G＝∠HAC﹣∠ACG＝1.5（∠FAC﹣∠ACE）＝1.5（∠FAC﹣∠ACE）＝1.5×0.5（∠DAC﹣∠ACB）＝0.75∠B＝0.75α．
【解答】（1）∠E＝30°；
（2）∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝α,
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB,
∴∠FAC＝0.5∠DAC,∠ACE＝0.5∠ACB,
∴∠E＝∠FAC-∠ACE＝0.5∠B＝0.5α；
（3）∵AG，CG分别平分∠EAB与∠ECB,
∴∠HAC＝1.5∠FAC,∠ACG＝1.5∠ACE，
∴∠G＝∠HAC-∠ACG
＝1.5（∠FAC-∠ACE）
＝1.5×0.5∠B＝0.75α．
【拓展1】已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线．
（1）当∠BAC＝40°时，∠BPC＝ ，∠BQC＝ ；
（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；
（3）如图②，当∠BAC＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数．
【解答】（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB,
∠BCE＝∠A+∠ABC,
∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP＝0.5(∠DBC+∠BCE)
＝110°.
∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，
∵BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，
∴∠QBC＝0.5∠PBC，∠QCB＝0.5∠PCB.
∴∠QBC+∠QCB＝55°，
∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB＝180°，
∵BM、CN分别平分∠PBD、∠PCE，
∴0.75（∠DBC+∠BCE）＝180°，
即0.75（180°+∠BAC）＝180°，
解得∠BAC＝60°；
（3）∵∠BAC＝120°，
∴∠MBC+∠NCB＝0.75（∠DBC+∠BCE）
＝0.75（180°+α）＝225°，
∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°．
【拓展2】四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．
（1）如图1，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用含α，β的式子表示）
（2）如图2，若α+β＜180°，请在图中画出∠P，并直接写出∠P的度数．（用含α，β的式子表示）
【分析】（1）由四边形内角和等于360°，得∠ABC+∠DCB＝360°﹣（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义，得∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝360°﹣（α+β）＝2∠PBC+（180°﹣2∠DCP）＝180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）＝180°﹣2∠P；
（2）由四边形内角和等于360°，得∠ABC+∠DCB＝360°﹣（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义，得∠ABC+（180°-∠DCE）＝360°-（α+β）＝2∠GBC+（180°-2∠HCE）＝180°+2（∠GBC-∠HCE）＝180°+2∠P．
【解答】(1)∵∠ABC+∠DCB＝360°-(α+β)，
∴∠ABC+(180°-∠DCE)＝360°-(α+β)
＝2∠FBC+（180°-2∠DCP）
＝180°-2（∠DCP-∠FBC）
＝180°-2∠P．
∴360°-（α+β）＝180°-2∠P，
2∠P＝α+β-180°，
∴∠P＝0.5（α+β）-90°；
（2）如图下图示．
∵∠ABC+∠DCB＝360°-(α+β)，
∴∠ABC+(180°-∠DCE)
＝360°-(α+β)
＝2∠GBC+(180°-2∠HCE)
＝180°+2(∠GBC-∠HCE)
＝180°+2∠P，
∴360°-(α+β)＝180°+2∠P，
∴∠P＝90°-0.5（α+β）．
【拓展3】如图，六边形ABCDEF，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系．
【解答】六边形ABCDEF的内角和为(6-2)•180°＝720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC＝0.5∠EDC，∠PCD＝0.5∠BCD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
＝180°﹣0.5∠EDC﹣0.5∠BCD，
＝180°﹣0.5（∠EDC+∠ACD），
＝180°﹣0.5（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），
＝0.5（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P＝0.5（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
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