绝对值与距离、最值（2）——七上期末复习（5）——尖子生之路[七上系列]

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绝对值与距离、最值（2）

——七上期末复习（5）

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【例题】小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：

“当式子|x+1|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是　　，最小值是　　”．

小红说:"如果去掉绝对值问题就变得简单了."小明说:"利用数轴可以解决这个问题."

他们把数轴分为三段:x＜-1,-1≤x≤2和x＞2,经研究发现,当﹣1≤x≤2时,值最小为3.

请你根据他们的解题思路解决下面的问题：

(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时,相应的x的取值范围是　　,最小值是　　.

(2)已知y=|2x+8|-4|x+2|,求y的最大值及相应的x的取值范围.写出解答过程.

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【分析】(1)结合数轴，不难得到：线段上的点与线段的两端点的距离和最小(=线段的长,为定值);

(2)根据两个绝对值,通过找"零点"可得分类的标准,再根据每一段的范围,可去掉绝对值,化为整式加减问题,最后利用对应的x的取值可求得最大值.

【解答】(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时,相应的x的取值范围是4≤x≤6,最小值是8;

（2）由2x+8=0得x=-4,由x+2=0得x=-2,再结合数轴可得以下分类标准:

当x≥-2时,2x+8≥0,x+2≥0,

得y=(2x+8)-4(x+2)

=2x+8-4x-8=2x，

所以当x==2时,y最大,且为4；

当-4≤x≤-2时,2x+8≥0,x+2≤0,得y=(2x+8)-4(-x-2)=2x+8+4x+8=6x+16,所以当x=-2时,y最大,且为4；

当x≤-4时,2x+8≤0,x+2≤0,得y=(-2x-8)-4(-x-2)=-2x-8+4x+8＝2x,所以当x=-4时,y最大,且为-8，

综合所述，当x=-2时,y有最大值y=4.

【拓展】

(1)当式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|取最小值时，相应的x的取值范围是　　，最小值是　　．

(2)已知y=|2x-6|﹣3|x-2|，求y的最大值及相应的x的值或取值范围．

【答案】(1)-3≤x≤-2，最小值是4；(2)当x=2时，y有最大值，为2．

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