全等三角形综合（1）——八上期末复习（3）——尖子生之路[八上系列]
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全等三角形综合（1）
——八上期末复习（3）
【例题】如图1，在∠ABC＝90°，∠DBE＝90°，BA＝BC，BD＝BE，连接AE、CD，AE所在直线交CD于点F，连接BF．
（1）连接AD，EC，求证：AD＝EC；
（2）若BF⊥AF，求证：点F为CD的中点．
【解析】（1）由题意，不难证△ADB≌△BEC.
如下图示，从而AD＝EC；
（2）充分利用图中给出的关于“直角“的条件，构造最常见的图形：
详细过程如下：
证明：（1）∵∠ABC＝90°，∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠EBC，
又∵AB＝BC，BD＝BE，
∴△ABD≌△BEC，
∴AD＝EC．
（2）如图2中：作CP⊥BF交BF的延长线于P，作DN⊥BF于N．
∵∠ABC＝90°，BF⊥AE，
∴∠ABF+∠A＝90°，
∠ABF+∠PBC＝90°.
∴∠A＝∠PBC，且AB＝BC，
∠P＝∠AFB＝90°
∴△ABF≌△BPC，∴BF＝CP
∵∠DBN+∠EBF＝90°，
∠DBN+∠BDN＝90°，
∴∠BDN＝∠EBF，
∵∠DNB＝∠BFE＝90°，BD＝BE，
∴△DNB≌△BFE，
∴DN＝BF＝CP，
∵∠DNF＝∠PFC，∠∠PFC，
∴△PFC≌△NFD，
∴DF＝FC即点F是CD中点．
【小结】实际上本题的图形是最常见的两等腰直角三角形（或两正方形）旋转的图形，如下图示：
【拓展1】如图，在∠ABC＝90°，∠DBE＝90°，BA＝BC，BD＝BE，连接AE、CD，AE所在直线交CD于点F，连接BF．若BF⊥AF，求证：点F为CD的中点．（注意观察图形的变化）
【拓展2】如上图，在∠ABC＝90°，∠DBE＝90°，BA＝BC，BD＝BE，连接AE、CD，AE所在直线交CD于点F，连接BF．若点F是CD的中点，那么BF⊥AF成立吗？说明理由．（可选用上述的任意一个图形说明）.
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