数轴上的动点与路程相关综合应用（1）——七上期末复习（7）——尖子生之路[七上系列]
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数轴上的动点与路程相关综合应用(1)
——七上期末复习（7）
【例题】如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x＞0）．
（1）当x= 秒时，点P到达点A；
（2）运动过程中点P表示的数是 （用含x的式子表示）；
（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值．
【分析】（1）先得AB的长，利用P点运动速度求得运动时间；
（2）结合数轴理解：“原数（-4）+P点向右运动的距离”即表示运动过程中点P所表示的数；
（3）分两种情况结合数轴讨论：当点P运动到点C左侧2个单位长度时，当点P运动到点C右侧2个单位长度时．
【解答】（1）AB=10，运动时间为10÷2=5（秒）；
（2）运动过程中点P表示的数是：2x﹣4；
（3）结合数轴，不难得到点C表示的数为1，
当点P运动到点C左侧2个单位长度时，2x﹣4=1﹣2，解得：x=1.5，
当点P运动到点C右侧2个单位长度时，2x﹣4=1+2，解得：x=3.5．
综上所述，x=1.5或3.5．
【拓展1】如图，点A、B都在数轴上，O为原点．
（1）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是 ；
（2）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．
【分析】（1）结合数轴理解：﹣4+点B向右运动的速度×t=经过t秒后点B表示的数（向右）；
（2）先表示出t秒后点A、B表示的数，再分三种情况讨论：①点O为线段AB的中点，②当点B是线段OA的中点，③点A是线段OB的中点．
【解答】（1）2秒后点B表示的数是﹣4+2×2=0；
（2）①当点O是线段AB的中点时，OB=OA，4﹣3t=2+t，解得t=0.5；
②当点B是线段OA的中点时，OA=2OB，2+t=2（3t﹣4），解得t=2；
③当点A是线段OB的中点时，OB=2 OA，3t﹣4=2（2+t），解得t=8．
综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8．
【拓展2】已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为11，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为3个单位的线段BC在数轴上移动，
（1）如图1，当线段BC在O，A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC=OB，求此时b的值；
（2）线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，是否存在AC﹣OB=0.5AB？若存在，求此时满足条件的b的值；若不存在，说明理由．
【分析】类似例题和拓展1的思路与解法．
【解答】（1）由题意，得
11﹣（b+3）=b，解得b=4．
答：线段AC=OB，此时b的值是4．
（2）由题意，得
①11-(b+3)-b=0.5(11-b),解得b=5/3．
②11-(b+3)+b=0.5(11-b),解得b=-5．
答：若AC﹣OB=0.5AB，满足条件的b值是5/3或﹣5．
【拓展3】如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的式子表示）
（2）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是 ．
（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
（4）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
【解答】（1）点B表示的数是8﹣22＝﹣14，点P表示的数是8﹣5t．
（2）①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN＝MP+NP＝0.5AP+0.5BP
＝0.5（AP+BP）
＝0.5AB＝0.5×22＝11，
②当点P运动到点B的左侧时：
MN＝MP﹣NP
＝0.5AP﹣0.5BP
＝0.5（AP﹣BP）
＝0.5AB＝11，
∴线段MN的长度不发生变化，其值为11．
（3）若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：
①点P、Q相遇之前，由题意得3t+2+5t＝22，解得t＝2.5；
②点P、Q相遇之后，由题意得3t﹣2+5t＝22，解得t＝3．
答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；
（4）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，
则AC＝5x，BC＝3x，∵AC﹣BC＝AB，
∴5x﹣3x＝22，解得：x＝11，
∴点P运动11秒时追上点Q．
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