全等三角形综合（3）——八上期末复习（5）——尖子生之路[八上系列]
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全等三角形综合（3）
——八上期末复习（5）
【例题】如图1，在△ABC中，AC＝BC，D、E、F分别是直线AC、AB、BC上的点，且AD＝BE，AE＝BF．
（1）若∠DEF＝30°，求∠ACB的度数；
（2）当E为AB的中点时，如图2．
①求证：DF∥AB；②若DF与AB之间的距离为8，AC＝16，求△ABC的面积．
【分析】（1）如下图示：
得到∠DEF＝∠B＝30°，
进一步，得∠A＝∠B＝30°，
从而∠ACB＝120°；
（2）①如下图示：
②作EM⊥AC与M，DN⊥AB与N．
通过三角形面积公式，有：
S△ADE＝0.5AE×DH＝0.5AD×EG．
又因AD＝AE，得EG＝DH＝8．
或者通过两三角形全等，也可：
连接CE，在直角三角形ACE中，
可得S△ACE＝0.5AC×EG＝…＝64，
进一步，得S△ABC＝2 S△ACE＝128．
具体过程如下：
（1）解：∵AC＝CB，
∴∠A＝∠B，∵AD＝BE，AE＝BF，
∴△DAE≌△EBF，∴∠ADE＝∠BEF，
∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，
∠BEF+∠DEF+∠AED＝180°，
∴∠A＝∠DEF＝30°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
（2）①由（1）可知△DAE≌△EBF，
∴AD＝EB，∵AE＝EB＝BF，
∴AD＝BF，∵CA＝CB，
∴CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD，
∵2∠CDF+∠C＝180°，2∠A+∠C＝180°，
∴∠CDF＝∠A，∴CD∥AB．
②如图2中，连接EC，作EM⊥AC与M，DN⊥AB与N．
∵AD＝AE，∴0.5•AD•EM＝0.5•AE•DN，
∴EM＝DN＝8，∵AE＝EB，
∴S△ABC＝2S△ACE＝2×0.5•AC•EM＝128．
【拓展】如图1，在△ABC中，AC＝BC，D、E、F分别是直线AC、AB、BC上的点，且AD＝BE，AE＝BF．
（1）设∠ACB＝x0，∠DEF＝y°，求y与x之间的数量关系；
（2）当E为AB的中点时，若∠DEF＝45°，DF与AB之间的距离为8，求AD的长．
【解答】（1）y=90-0.5x；（2）128．
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