角的综合计算（1）——七上期末复习（12）——尖子生之路[七上系列]
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角的综合计算（1）
——七上期末复习（12）
【例1】已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；
（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数；
（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义，可求得∠COE、∠COD的度数，然后再根据角的和差定义，可得∠DOE＝∠COE+∠COD；
（2）类似（1），根据角的平分线与和差意义，直接进行计算∠DOE＝∠DOC+∠COE；
（3）类似（1）与（2）的解题思路和方法．
【解答】
（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE＝0.5∠COB＝35°，
∠COD＝0.5∠AOC＝10°，
∴∠DOE＝45°；
（2）∠DOE的大小不变等于45°．理由如下：
∠DOE＝∠DOC+∠COE
＝0.5∠COB+0.5∠AOC
＝0.5(∠COB+∠AOC)= 45°．
（3）∠DOE的大小发生变化，∠DOE＝45°或135°．
如图①，则为45°；如图②，则为135°．（说明过程同（2））
【反思】正确作图，熟练掌握角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．
【拓展】已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．
（1）如图1，若∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，求EOF的度数；
（2）如图2，若∠AOB＝α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；
（3）若将题中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”的条件改为“∠EOB＝(1/3)∠BOC，∠COF＝(2/3)∠AOC”，且∠AOB＝α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）
【分析】（1）先求∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义和角的和差可求解；
（2）根据角的平分线的定义和角的和差可得
∠EOF＝∠EOC+∠COF
＝0.5∠BOC+0.5∠AOC
＝0.5（∠BOC+∠AOC），
即可求解；
（3）根据角的等分线的定义可得
∠EOF＝∠EOC+∠COF
＝(2/3)∠BOC+(2/3)∠AOC
＝(2/3)（∠BOC+∠AOC）
＝(2/3)∠AOB，即可求解．
【解答】
（1）∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC
＝90°﹣30°＝60°，
∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC＝0.5∠BOC＝30°，
∠COF＝0.5∠AOC＝15°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝45°；
（2）∵OE平分∠BOC,OF平分∠AOC,
∴∠EOC＝0.5∠BOC，
∠COF＝0.5∠AOC，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF
＝0.5∠BOC+0.5∠AOC
＝0.5（∠BOC+∠AOC）
＝0.5∠AOB＝0.5a；
（3）∵∠EOB＝(1/3)∠BOC，
∴∠EOC＝(2/3)∠BOC，
又∵∠COF＝(2/3)∠AOC，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF
＝(2/3)∠BOC+(2/3)∠AOC
＝(2/3)（∠BOC+∠AOC）
＝(2/3)∠AOB＝(2/3) a．
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