角的综合计算（3）——七上期末复习（14）——尖子生之路[七上系列]
声明:
1.输入"book"(不含双引号)可得到本人主编和编著的相关书籍的详细编写说明、目录、样章和购买二维码（可进入微店购买）.
2.关注本公众号后,进入公众号,输入"1"(不包括双引号)即可免费获得《几何画板视频教程(622分钟)》学习地址(至2018.9.12.已超过2万小时的播放量).
3."初中数学延伸课堂"的所有文章,版权所有.欢迎并感谢朋友们分享和转发,但未经许可,不得在任何公共场合使用、开发及转载,违者必究！
角的综合计算（3）
——七上期末复习（14）
【例1】已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
初步尝试：（1）如图1，若∠AOC＝30°．求∠DOE的度数；
类比探究：（2）在图1中，若∠AOC＝a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；
解决问题：（3）如图2时，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系．直接写出你的结论．
【分析】(1)先求∠BOC，根据角平分线的定义，结合角的和差可求出∠DOE；
(2)与(1)类似；
(3)与(1)、(2)类似,依据∠COD是直角，OE平分∠BOC，结合角的和差意义，不难得到∠AOC＝180°-2∠COE＝2(90°-∠COE)，又∠DOE＝90°-∠COE,所以∠AOC＝2∠DOE．
【解答】（1）由已知得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，
又∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD﹣0. 5∠BOC
＝90°﹣0. 5×150°＝15°．
（2）由（1）知∠DOE＝∠COD﹣0. 5∠BOC，∴∠DOE＝90°﹣0. 5（180°﹣∠AOC）
＝90°﹣90°+0. 5∠AOC
＝0. 5∠AOC＝0. 5α．
（3）∠AOC＝2∠DOE．理由如下：
∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE，∠COB＝2∠COE，
∴∠AOC＝180°﹣∠COB
＝180°﹣2∠COE
＝2（90°﹣∠COE），
∵∠DOE＝90°﹣∠COE，
∴∠AOC＝2∠DOE．
【拓展1】如图1，点O为直线AB上的一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针旋转一周，在旋转的过程中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求此时t的值为多少？
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）依题意，得：在第t秒时，三角板转过的角度为10°t，然后再按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论；
（2）根据三角板∠MON＝90°，分别表示出∠AOM、∠NOC和∠AON，角的和加即可求出二者之间的数量关系．
【解答】（1）∵三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转，
∴第t秒时，三角板转过的角度为10°t，
当三角板转到如图①所示时，∠AON＝∠CON．
∵∠AON＝90°+10°t，
∠CON＝∠BOC+∠BON
＝120°+90°﹣10°t＝210°﹣10°t
∴90°+10°t＝210°﹣10°t．即t＝6；
当三角板转到如图②所示时，
∠AOC＝∠CON＝180°﹣120°＝60°
∵∠CON＝∠BOC﹣∠BON
＝120°﹣（10°t﹣90°）＝210°﹣10°t
∴210°﹣10°t＝60°，即t＝15；
当三角板转到如图③所示时，
∠AON＝∠CON＝0.5∠AOC，
∵∠CON＝∠BON﹣∠BOC
＝（10°t﹣90°）﹣120°
＝10°t﹣210°
∴10°t﹣210°＝30°，即t＝24；
当三角板转到如图④所示时，
∠AON＝∠AOC＝60°
∵∠AON＝10°t﹣180°﹣90°
＝10°t﹣270°
∴10°t﹣270°＝60°，即t＝33．
故t的值为6、15、24、33．
（2）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，
∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC
=(90°-∠AON)-(60°-∠AON)
＝30°．
【拓展2】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 （直接写出结果）．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得∠BON的度数；
（2）分两种情况：ON的反向延长线平分∠AOC或射线ON平分∠AOC，分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；
（3）根据∠MON＝90°，∠AOC＝70°，分别求得∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，再根据∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）进行计算，即可得出∠AOM与∠NOC的数量关系．
【解答】（1）如图2，
∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，
又∵∠BOC＝110°，∴∠MOB＝55°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝∠MON-∠MOB＝35°；
（2）分两种情况：
①如图2，∵∠BOC＝110°，
∴∠AOC＝70°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，
∠AOD＝∠COD＝35°，
∴∠BON＝35°，∠BOM＝55°，
即逆时针旋转的角度为55°，
由题意得5t＝55°.解得t＝11（s）；
②如图3，当NO平分∠AOC时，
∠NOA＝35°，∴∠AOM＝55°，
即逆时针旋转的角度为：
180°+55°＝235°，
由题意得，5t＝235°，
解得t＝47（s），
综上所述，t＝11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；
（3）∠AOM﹣∠NOC＝20°．
理由：∵∠MON＝90°,∠AOC＝70°,
∴∠AOM＝90°-∠AON，
∠NOC＝70°-∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC
＝(90°-∠AON)-(70°-∠AON）
＝20°，
∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：
∠AOM﹣∠NOC＝20°．
正版授权店铺
(点击相关书名，可直接打开对应的书籍的相关说明、目录与样章)
（扫码进店购买，团购或任何相关问题可直接咨询客服或留言联系负责人．）
《图解精析中考数学压轴题》Q群
群号:333629230
扫描下列二维码，关注本公众号，进入后，
输入"book"或"样章"或"教辅"(均不含双引号)可得到本人主编和编著的相关书籍的详细编写说明、目录和样章.
输入"尖子生"或"培优系列"(均不含双引号)可得到相应的"尖子生之路"和"培优系列"各个按年级汇总的所有文章.
输入"搜索文章"可得到如何快速查找本公众号的文章（如同百度搜索，方便快捷！）……
输入"abcd"可得到：所有关键词与对应的输出结果（陆续更新中）
您的点赞是对我的鼓励和肯定，
您的分享和转发是我坚持的信心和动力！