角的综合计算（2）——七上期末复习（13）——尖子生之路[七上系列]
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角的综合计算（2）
——七上期末复习（13）
【例1】如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．若已知∠BOC＝20°，且∠AOD小于平角，求∠MON的度数.
【分析】先计算∠AOC＝∠BOD＝90°﹣20°＝70°.再根据OM平分∠AOC,ON平分∠BOD的定义,结合∠MON＝∠MOC+∠COB+∠BON即可得到答案；
【解答】∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°-20°＝70°．
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOD，
∴∠MOC＝0.5∠AOC＝35°，
∠BON＝＝0.5∠BOD＝35°．
∴∠MON＝∠MOC+∠COB+∠BON
＝35°+20°+35°＝90°．
【拓展1】如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．若已知∠BOC＝α，且∠AOD小于平角，求∠MON的度数；
【分析】类似上述思路和解法
【解答】∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∠BOC＝α，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°﹣α．
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOD，
∴∠MOC＝0.5∠AOC＝45°-0.5α，
∠BON＝＝0.5∠BOD＝45°-0.5α．
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON
＝45°=0.5α+α+45°=0.5α＝90°；
【拓展2】如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．若已知∠BOC＝α，且∠AOD大于平角，求∠MON的度数；
【分析】类似上述思路和解法
【解答】∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∠BOC＝α，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°+α．
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC＝0.5∠AOC＝45°+0.5α，
∠BON＝＝0.5∠BOD＝45°+0.5α．
∴∠MON＝∠MOC-∠COB+∠BON
＝45°+0.5α-α+45°+0. 5α＝90°．
【拓展3】如图，∠AOB＝∠COD＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．若已知∠BOC＝α，且∠AOD大于平角，求∠MON的度数；
【分析】解法类似．
【解答】∵∠AOB＝∠COD＝β，
∠BOC＝α，
∴∠AOC＝∠BOD＝β+α．
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC＝0.5∠AOC＝0.5β+0.5α，
∠BON＝0.5∠BOD＝0.5β+0.5α．
∴∠MON＝∠MOC-∠COB+∠BON
＝0.5β+0.5α-α+0.5β+0.5α=β．
【拓展4】已知∠AOB=130°,∠COD=80°,OM,ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．
（1）如果OA,OC重合,且OD在∠AOB的内部,如图1,求∠MON的度数；
（2）如果将图1中的∠COD绕点O点顺时针旋转n°（0＜n＜155）,如图2，
①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；
②当n为多少时，∠MON为直角？
（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OA绕着O点顺时针旋转m°（0＜m＜100），如图3，∠MON与旋转度数m°有怎样的数量关系？说明理由．
【解答】（1）如图1，
∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠AOM＝0. 5∠AOB＝0. 5×130°＝65°，
∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，
∴∠AON＝0. 5∠COD＝0. 5×80°＝40°，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON
＝65°﹣40°＝25°；
（2）①如图2中，
∠MON＝∠COM﹣∠NOC
＝65°+n°﹣40°＝n°+25°．
②当∠MON＝90°时，n°+25°＝90°，
∴n＝65°．
（3）如图3中，
∠MON＝∠COM﹣∠CON
＝65°+m°﹣0. 5（80°+m°）
＝0. 5m°+25°．
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