方程相关的综合运用（1）——七上期末复习（16）——尖子生之路[七上系列]
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方程相关的综合运用（1）
——七上期末复习（16）
【例1】已知关于x的方程3[（2x+a）﹣7]+8=2（1.5x﹣a+40）的解为自然数，求正数a的最大值与最小值的和．
【分析】把a当作已知数，求出关于x的方程的解，再根据解为自然且a为正数即可求a的最大值与最小值．
【解答】去括号，得
6x+3a﹣21+8=3x﹣2a+80，
移项合并得3x=93﹣5a，
解得x=31﹣（5/3）a，
∵x为自然数，a为正数
∴（5/3）a应为小于31的正整数，且a必须是3的倍数
∵31恰如介于30（＝5/3×18）与35（＝5/3×21）之间，且a为正数．
∴a的最大值为18．最小值为3．
∴正数a的最大值与最小值的和是21．
【例2】求关于x的方程3x﹣5+a=bx+1．
（1）有唯一解的条件；
（2）有无数解的条件；
（3）无解的条件．
【解答】整理，得（b﹣3）x=a﹣6，
（1）当方程有唯一解时， b﹣3≠0，即b≠3；
（2）当方程有无数解时，得b﹣3=0且a﹣6=0，即a=6且b=3；
（3）当方程无解时，得b﹣3=0且a﹣6≠0，即a≠6，b=3．
【拓展1】已知关于x的方程a（2x﹣1）=4x+3b，当a，b为何值时，方程满足下列条件？
（1）方程有唯一解
（2）方程有无数个解
（3）方程无解．
【解答】方程移项合并得：（2a﹣4）x=3b+a，
（1）当方程有唯一解时，得2a﹣4≠0，即a≠2；
（2）当方程有无数个解时，得2a﹣4=0且3b+a=0，解得a=2，b=﹣1；
（3）当方程无解时，得2a﹣4=0且3b+a≠0，解得：a=2，b≠﹣2/3．
【拓展2】a为何值时，关于x的方程3（ax﹣2）﹣（x+1）=2（1/2+x）
（1）有唯一的解？（2）没有解？
【解答】由原方程，得3ax﹣6﹣x﹣1=1+2x，
（3a﹣3）x﹣8=0．
（1）当该方程有唯一解时，3a﹣3≠0，即a≠1；
（2）当该方程无解时，3a﹣3=0，即a=1．
【例3】关于x的方程||x﹣3/2|+b|=7有且只有三个解时，求b的值．
【解答】由||x﹣3/2|+b|=7，得
|x﹣3/2|+b=7或|x﹣3/2|+b=﹣7，
根据绝对值的意义，通常|x﹣3/2|=﹣b+7和|x﹣3/2|=﹣b﹣7均有两个解或一个解，
则但由已知，原关于x的方程有且只有三个解，
∴必有一个方程只有一个解．
下面分两种情况说明：
①当﹣b+7=0，解得b=7，此时|x﹣3/2|=﹣b﹣7无解（根据绝对值的非负性），不合题意；
②当﹣b﹣7=0，解得b=﹣7，此时|x﹣3/2|=﹣b+7=14有两个解，|x﹣3/2|=﹣b-7=0只有一个解，符合题意．
综上所述，b=﹣7．
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