角的综合计算（4）——七上期末复习（15）——尖子生之路[七上系列]
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角的综合计算（4）
——七上期末复习（15）
【例1】如图，将一副三角尺的直角顶点叠放在点C处，请写出∠ACB和∠DCE的数量关系，并说明理由．
【分析】利用角的和差意义
【解答】结论：∠ACB+∠DCE＝180°
（或∠ACB与∠DCE互补）
理由如下：
∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB
＝90°+∠DCB，
∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB
＝90°﹣∠DCB．
∴∠ACB+∠DCE＝180°．
【拓展】当∠ACB绕点C旋转一周，请写出∠ACB和∠DCE的数量关系．
观察动画，答案显然．你能说出理由吗？
提示：解题思路及过程与原例题类似．
【例2】如果两个锐角的和等于90°，就称这两个角互为余角．类似可以定义：如果两个角的差的绝对值等于90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠l＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）．
（1）如图，O为直线AB上一点，OC丄AB于点O，OE⊥OD于点O，请写出图中所有互为垂角的角有 ；
（2）如果有一个角的互为垂角等于这个角的补角的4/5，求这个角的度数．
【分析】（1）根据互为垂角的定义即可求解；
（2）相等关系：一个角的垂角＝这个角的补角的4/5”列方程求解．
【解答】
（1）互为垂角的角有4对，分别是：
∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，
∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；
（2）设这个角的度数为x度，则
①当0＜x＜90时，它的垂角是（90+x）度，依题意，得
90+x＝4/5×（180﹣x），
解得x＝30；
②当90＜x＜180时，它的垂角是（x﹣90）度，依题意，得
x﹣90＝4/5×（180﹣x），
解得x＝130．
故这个角的度数为30或130度．
【例3】如图，∠AOB＝20°，∠AOE＝110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．
（1）求∠COD的度数；
（2）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE＝30°？
【分析】（1）根据角平分线和角的和差定义
（2）设经过x秒，根据∠AOE＝30°和角的和差定义列出相应方程求解，注意需分类讨论．
【解答】
（1）∵OB平分∠AOC,∠AOB＝20°，
∴∠AOC＝40°．
∵OD平分∠AOE，∠AOE＝110°，
∴∠AOD＝55°．
∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，
∴∠COD＝55°﹣40°＝15°;
（2）设经过x秒时，∠AOE＝30°，
①如图1所示，当OA未追上OE时，
依题意，得
5x﹣110＝3x﹣30．
解得x＝40；
②如图2所示，当OA超过OE时，
依题意，得
5x﹣110＝3x+30，
解得x＝70．
综上所述，经过40秒或70秒时，∠AOE＝30°．
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