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等腰三角形、全等与平移旋转对称综合(1)——八上期末复习(7)——尖子生之路[八上系列]

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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等腰三角形、全等与平移旋转对称综合(1)

——八上期末复习(7)


【例题】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是线段CA延长线上一点,且ADAB,点F是线段AB上一点,连接DF,以DF为斜边作等腰Rt△DFE,连接EAEA满足条件EAAB

(1)若∠AEF=20°,∠ADE=50°,BC=2,求AB的长度;

(2)求证:AEAF+BC

具体解答过程如下:

【解】(1)等腰直角△DEF中,∠DEF=90°,

∵∠1=20°,

∴∠2=∠DEF﹣∠1=70°.

∵∠EDA+∠2+∠3=180°,

∴∠3=60°.

EAAB

∴∠EAB=90°.

∵∠3+∠EAB+∠A=180°,

∴∠4=30°.

∵∠C=90°,

AB=2BC=4;

(2)如下图,过DDMAED,在△DEM中,∠2+∠5=90°,


【拓展1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是线段CA延长线上一点,且ADABF是线段BA的延长线上的一点,连接DF,以DF为斜边作等腰Rt△DFE,连接EAEA满足条件EAAB.探究线段AE、AF和BC之间的关系,并说明理由.


【拓展2】已知Rt△ABC≌Rt△ADE,其中∠ACB=∠AED=90°.

(1)将这两个三角形按图①方式摆放,使点E落在AB上,DE的延长线交BC于点F.求证:BF+EFDE

(2)改变△ADE的位置,使DEBC的延长线于点F(如图②),则(1)中的结论还成立吗?若成立,加以证明;若不成立,写出此时BFEFDE之间的等量关系,并说明理由.


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