等腰三角形、全等与平移旋转对称综合（1）——八上期末复习（7）——尖子生之路[八上系列]

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等腰三角形、全等与平移旋转对称综合（1）

——八上期末复习（7）

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【例题】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB，点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，EA满足条件EA⊥AB．

（1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，BC＝2，求AB的长度；

（2）求证：AE＝AF+BC；

具体解答过程如下：

【解】（1）等腰直角△DEF中,∠DEF＝90°,

∵∠1＝20°，

∴∠2＝∠DEF﹣∠1＝70°．

∵∠EDA+∠2+∠3＝180°，

∴∠3＝60°．

∵EA⊥AB，

∴∠EAB＝90°．

∵∠3+∠EAB+∠A＝180°，

∴∠4＝30°．

∵∠C＝90°，

∴AB＝2BC＝4；

（2）如下图，过D作DM⊥AE于D，在△DEM中，∠2+∠5＝90°，

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【拓展1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB，点F是线段BA的延长线上的一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，EA满足条件EA⊥AB．探究线段AE、AF和BC之间的关系，并说明理由．

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【拓展2】已知Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB＝∠AED＝90°．

（1）将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在AB上，DE的延长线交BC于点F．求证：BF+EF＝DE；

（2）改变△ADE的位置，使DE交BC的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时BF、EF与DE之间的等量关系，并说明理由．

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