等腰三角形、全等与平移旋转对称综合（3）——八上期末复习（9）——尖子生之路[八上系列]
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等腰三角形、全等与旋转综合（3）
——八上期末复习（9）
【例】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝1100，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转600得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝1500时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
解析：
（1）根据旋转不变性：∠OCD＝∠BCA＝600，且CO＝CD，因此△COD是等边三角形.
（2）当α＝1500时，如下图示：
同样根据旋转不变性，可得到∠ADC＝∠BOC＝1500，同时由（1）知：∠CDO＝600，所以∠1＝∠ADC－∠CDO＝1500-600＝900，因此△AOD为直角三角形.
（3）通过上述相关结论和旋转的性质，不难得到△AOD的三个角分别为（用含α的式子表示）.
显然，要分三种情况，当符合下列条件之一时，△AOD是等腰三角形.
①当∠1＝∠2即α－600＝1900－α时，
解得α＝1250；
②当∠1＝∠OAD即α－600＝500时，
解得α＝1100；
①当∠2＝∠OAD即1900－α＝500时，解得α＝1400.
综上所述，所求当α＝1250或1100或1400时，△AOD为等腰三角形.
【拓展1】P是等边内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5:6:7，所以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角的大小之比是 ．
解析：首先不难求得：∠APB＝1000，∠BPC＝1200，∠CPA＝1400.要求“PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角的大小之比”，应该将这三个角转化到同一个三角形中，由于△ABC是正三角形（三边相等），已经具备了旋转的条件，因此可以将△APB或△BPC或△APC中的任意一个三角形进行旋转600，使其一边与△ABC的一边重合.
如：将△BPC进行旋转，旋转时，既可将△BPC绕B点逆时针方向旋转600，也可绕C点顺时针方向旋转600，如下图示：
仅举第一个图说明，如下图示：
显然“PA、PB、PC的长为边的三角形”就是△PP’A，不难得到：∠AP’P=600，∠APP’＝400，从而∠PAP’＝1800－600－400＝800.因此，所以的比为40：60：80＝2：3：4.
【拓展2】已知：如图，△ABC中，∠BAC=1200，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的长.
解析：由于△BCD为等边三角形，所以可以通过旋转进行解决，方法多种，仅以一种方法详解，其他方法图解提示：
法一：将△ABC绕B点顺时针旋转600，使C与D重合，得到△A’BD，连接AA’，如下图示：
如下图示，不难得到△ABA’是等边三角形，得到∠3=∠1=600，同时由旋转的性质，知∠2=∠BAC=1200，从而得到∠AA’D=1800，因此A、A’、D三点共线，因此∠BAD=∠3=600.
同时AD=AA’+A’D=3+2=5.
(其实这6种解法，均属于同一种思路)
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