轴对称、角平分线与等腰三角形综合——八上期末复习（10）——尖子生之路[八上系列]

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轴对称、角平分线与等腰三角形综合

——八上期末复习（10）

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【例题】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH．

（1）求∠BPD的大小；

（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；

（3）求证：∠BAP＝∠CAH．

【图文解析】

（1）

（2）由已知条件BC＝3BP可得PC＝2PB，由点C与点D关于PA对称，得PC＝PD，进一步，得PD＝2PB，同时由（1）知∠BPD＝60°，从而：

（常用的辅助线——得到等边△，进一步得到“双等腰三角形”）

（3）充分利用角平分线的性质定理和逆定理，构造辅助线，建立相等关系．

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【详细解答过程】

（1）如下图示，

∵∠PAB＝15°，∠ABC＝45°，

∴∠APC＝15°+45°＝60°，

∵点C关于直线PA的对称点为D，

∴PD＝PC，AD＝AC，

∴△ADP≌△ACP，

∴∠APC＝∠APD＝60°，

∴∠BPD＝180°﹣120°＝60°；

（2）直线BD，AH平行．理由如下：

∵BC＝3BP，∴BP＝0.5PC＝0.5PD，

如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BCDE为等腰三角形，

∴∠BEP＝60°，

∴∠BDE＝0.5∠BEP＝30°，

∴∠DBP＝90°，即BD⊥BC．

又∵△APC的PC边上的高为AH，

∴AH⊥BC，∴BD∥AH；

（3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．

∵∠APC＝∠APD，

即点A在∠DPC的平分线上，

∴AH＝AF．

∵∠CBD＝90°，∠ABC＝45°，

∴∠GBA＝∠CBA＝45°，

即点A在∠GBC的平分线上，

∴AG＝AE，∴AG＝AF，

∴点A在∠GDP的平分线上．

又∵∠BDP＝30°，

∴∠GDP＝150°，

∴∠ADP＝0.5×150°＝75°，

∴∠C＝∠ADP＝75°，

∴Rt△ACH中，∠CAH＝15°，

∴∠BAP＝∠CAH．

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【反思】利用角平分线的性质与判定构造辅助线（常用），很精典的一道角平分线相关的综合试题． 

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