纯代（函）数系列文章汇总（2）——九上期末复习（2）——尖子生之路[九上系列]
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纯代(函)数系列文章汇总(2)
——九上期末复习（2）
【例题】定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；
（2）若函数y=﹣x2+4/3mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2018的值；
（3）已知函数y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”
【解析】（1）直接根据“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2，从而得到原函数的“旋转函数”；具体过程如下：
∵a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，
∴﹣1+a2=0，b2=3，﹣2+c2=0，
∴a2=1，b2=3，c2=2，
∴函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”为y=x2+3x+2.
（2）根据“旋转函数”的定义得到4/3m=﹣2n，﹣2+n=0，解之即可求出m和n的值，然后代入计算即可.过程如下：
根据题意得4/3m=﹣2n，﹣2+n=0，解得m=﹣3，n=2，所以（m+n）2018=（﹣3+2）2018=1.
（3）先求出原抛物线与x轴的交点坐标：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），再根据关于原点对称的点的坐标的特征得到A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），则可得到经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=0.5（x﹣1）（x+4）=0.5x2+1.5x﹣2，再把原抛物线y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）化为一般式y=-0.5x2+1.5x+2，然后根据“旋转函数”的定义不难得到：两二次函数是互为“旋转函数”．具体过程如下：
证明：当x=0时，y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）=2，则C（0，2），
当y=0时，﹣0.5（x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），
∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），
设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=a2（x﹣1）（x+4），把C1（0，﹣2）代入得a2•（﹣1）•4=﹣2，解得a2=0.5，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=0.5（x﹣1）（x+4）=0.5x2+1.5x﹣2，
而y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）=﹣0.5x2+1.5x+2，
∴a1+a2=﹣0.5+0.5=0，b1=b2=1.5，c1+c2=2﹣2=0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣0.5（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．
【反思】理解 “新定义”的概念，并能根据“新定义”进行应用.
【拓展1】在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y=n/x（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+3，试求出t的取值范围．
【解析】（1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=n/x，即可求出反比例函数的解析式，具体过程如下：
∵点P（2，m）是“梦之点”，∴m=2，
∵点P（2，2）在反比例函数y=n/x（n为常数，n≠0）的图象上，∴n=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=4/x；
（2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），根据“梦之点”的定义有：x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分下列三种情况讨论：
当3k﹣1≠0，即k≠1/3时，解得x=（1－s）/（3k－1）；
当3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=1/3，s=1时，x有无数多个解；
当3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=1/3，s≠1时，x无解；
下面再结合已知“﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2、x1x2=1/a”求出a的取值范围.
由﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2可得：
x1﹣x2=2或－2，所以x2＝x1－2或x2＝x1+2，又因﹣2＜x1＜2，所以﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4，因此﹣4＜x2＜4.
进一步得到：﹣8＜x1•x2＜8.即﹣8＜1/a＜8，同时因a＞0，所以a＞1/8
而t=（2a+1）2+1．显然当a＞－1/2（在对称轴a=－1/2的右侧）时，t随a的增大而增大，所以t=（2a+1）2+1＞（2×1/8+1）2+1＝25/16+1＝41/16，
∴t＞41/16．
【反思】注意两点：（1）形如ax=b的方程的解的情况讨论；（2）题中由“﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2、x1x2=1/a”求出a的取值范围.注意体会解题思路.
【拓展2】设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y=﹣x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y=x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y=2018/x是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）如果已知二次函数y=x2﹣4x+k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k和t的值；
（3）如果（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，B为直线x=1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标．
【图文解析】
（1）由k＝2018＞0可知，反比例函数y=2018/x在当1≤x≤2018（即闭区间[1，2018]）时，y随x的增大而减小．而且当x=1时，y=2018，x=2018时，y=1，所以1≤y≤2108．再根据“闭函数”的定义（即对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”）．因此反比例函数y=2018/x是闭区间[1，2018]上的“闭函数”．
详细过程如下：
∵k=2018时，∴当1≤x≤2018时，y随x的增大而减小．
∴当x=1时，y=2018，x=2018时，y=1．
∴1≤y≤2108．
∴反比例函数y=2018/x是闭区间[1，2018]上的“闭函数”．
（2）由二次函数y=x2﹣4x+k可得其对称轴为x=2，又由于a=1＞0，根据二次函数的性质可知函数y=x2﹣4x+k当x＞2时(即在闭区间[2，t]上)， y随x的增大而增大，同时：当x=2，y=k﹣4时，当x=t，y=t2﹣4t+k，根据“闭函数”的定义，可得k﹣4＝2且t2﹣4t+k＝t.解之即可.
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