纯代（函）数系列文章汇总（3）——九上期末复习（3）——尖子生之路[九上系列]
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纯代(函)数系列文章汇总(3)
——九上期末复习（3）
【例1】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2．
（1）求a，b，c的值；
【解析】（1）设y=a（x﹣1）2+2，将（0，3）代入，得a=1，所以y=（x﹣1）2+2，即y=x2﹣2x+3，所以a=1，b=﹣2，c=3.
（2）设二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）（k为实数），它的图象的顶点为D．
①当k=1时，求二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象与x轴的交点坐标；
【解析】当k=1时，y=﹣x2+4x﹣1，令y=0，﹣x2+4x﹣1=0，解得，即可得出图象与x轴的交点坐标；（，0），（，0）.
②请在二次函数y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）；
【解析】由于k的取值只与解析式中“k（2x+2）的值“有关，因此可考虑当2x+2=0(即x=－1)时的情况.而当x=－1时，函数y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的值相反（分别为6和－6），对应的函数图象上点M，N恰好关于x轴对称。因此不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，可得M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6）.
③过点M的直线y=﹣3/4x+t与抛物线y=ax2+bx+c交于另一点P，当k为何值时，点D在∠NMP的平分线上？（点D 是函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）（k为实数）的图象的顶点）
【解析】将点M（﹣1，6）代入y=﹣3/4x+t，得t=21/4，得到函数解析式为y=﹣3/4x+21/4，得直线与x轴的点A（7，0）.
下面利用角平分线的相关性质求出∠NMP的角平分线的解析式（方法多种，仅选用常用的一种）
如下图示，过M点作ME⊥x轴于点E. 设MD交x轴于点B，作BC⊥AM于点C.
∵ME⊥x轴，∴E点的横坐标为﹣1，
∴AE=8，∵ME=6，∴MA=10．
∵MD平分∠NMP，ME⊥x轴，
∴BC=BE，设BC=x，则AB=8﹣x，显然△ABC∽△AME，
∴MD的函数表达式为y=﹣2x+4．
（进一步，通过可配方得到点D的坐标.）
∵y= ax2+bx+c＝x2﹣2x+3
∴y=k(2x+2）-(ax2+bx+c)
=-[x﹣(k+1)]2+(k+1）2+2k﹣3
＝-[x﹣(k+1)]2+k2+4k﹣2．
得顶点D（k+1，k2+4k﹣2）.
最后根据点的坐标特征，可得到：
点D在∠NMP的平分线MD（y=﹣2x+4）上时，代入y=﹣2x+4．
得：k=﹣3±√13.
结合图象知：k=﹣3-√13不合题意.所以所求的值为k=﹣3+√13.
④当k取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？
【解析】（本题有多种解题思路，可参考之前的相关文章，本文仅提供一种）
由（3）知，抛物线的顶点D的坐标为（k+1，k2+4k﹣2）.不妨设xD=k+1, yD=k2+4k﹣2.
由xD=k+1得k= xD-1，代入yD=k2+4k﹣2，得：
yD=(xD-1)2+4(xD-1)﹣2
=xD2+2xD－5.
所以可得顶点横、纵坐标满足yD=xD2+2xD－5，根据”点的坐标和图象的意义“，结合”点动成线“知：随着k的取值不同，所有的顶点组成的图象应是抛物线y=x2+2x－5＝（x+1）2－6，因此：当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小．
【反思】注意其中特殊点的特殊意义以及对“函数图象、点动成线“概念的理解．
【拓展1】已知一次函数y1=x+b的图象与二次函数y2=a（x2+bx+3）（a≠0，a，b 为常数）的图象交于A、B 两点，且点A 的坐标为（0，3）
（1）求出a，b 的值；
（2）求出点B 的坐标，并直接写出当y1≥y2≥－x时x 的取值范围；
（3）设s=y1+y2，t=y1﹣y2，若n≤x≤m 时，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大，求m－n 的最大值．
（3）先分别求出两函数s、t的解析式，并配方成顶点式，写出当s随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大的x的取值，与n≤x≤m相比较对应得出结论．
s=y1+y2=x+3+x2+3x+3
=x2+4x+6=（x+2）2+2．
因抛物线开口向上，所以当x≥﹣2时，s 随着x 的增大而增大，
同样t=y1﹣y2=x+3-(x2+3x+3)
=-x2-2x=-(x+1)2+1，
因抛物线开口向下，当x≤﹣1时，t随着x 的增大而增大，
所以当﹣2≤x≤﹣1时，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大.
如下图示，又因n≤x≤m，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大，所以n 的最小值﹣2，m 的最大值﹣1．
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【拓展2】在平面直角坐标系xoy中，抛物线C：y=mx2+4x+1．
（1）当抛物线C经过点A（-5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）若抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数的图象，求m的取值范围；
（3）参考（2）小问思考问题的方法解决以下问题：
关于x的方程x﹣4=（a－3）/x在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．
【图文解析】
（1）简析：直接把点A（﹣5，6）代入抛物线解析式y=mx2+4x+1，可求得m＝1，则y=x2+4x+1=（x+2）2﹣3.因此抛物线的顶点为（﹣2，﹣3）.
（2）由抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间，结合抛物线的草图（如下图示），可以得到：
当x=﹣1时，y＞0，且△≥0，求出m的取值范围即可；
所以有：
【反思】抛物线y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），等价于：“关于x的一元二次方程mx2+4x+1＝0（m＞0）的两个实数根x1,2满足0 ≤x1,2≤－1.
（3）将方程x﹣4=(a－3)/x去分母，整理后，可得：x2﹣4x﹣a+3＝0.
由上述解题思路可知：方程x﹣4=(a－3)/x在0＜x＜4范围内有两个解，即抛物线y=x2﹣4x﹣a+3与x轴在0＜x＜4范围内有两个交点，如下图示，结合图象可知当x=0时y＞0，x=4时y＞0，且△＞0.
【反思】抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
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