整式乘除与新定义相关——八上期末复习（11）——尖子生之路[八上系列]
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整式乘除与新定义相关
——八上期末复习（11）
【例题】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
【分析】（1）根据新定义直接判断；
（2）通过计算两个连续偶数为2k+2和2k的平方差，再根据定义判断；
（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，通过计算，得（2k+1）2（2k﹣1）2＝8k，再利用“新定义”进行判断．
【解答】
（1）28＝2×14＝82﹣62；
2012＝2×1006＝5042﹣5022，
所以28和2012是神秘数；
（2）（2k+2）2﹣（2k）2
＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）
＝4（2k+1），
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．
（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，
则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，由（2）可知：神秘数是4的奇数倍，不是偶数倍，
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．
【反思】注意因式分解在本题中的应用．
【拓展2】对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“差异数”，将一个“差异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．
（1）计算F（243）；
（3）若s，t都是“差异数”，其中s＝100x+32，t＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k＝F（s）/ F（t），当F（s）+F（t）＝18时，直接写出k的最大值．
（3）（2）∵s，t都是“相异数”，
∴s＝100x+32，t＝150+y，
∴F(s)＝(302+10x+230+x
+100x+23)÷111＝x+5，
F（t）＝（510+y+100y+51
+105+10y）÷111＝y+6．
∵F（t）+F（s）＝18，
∴x+5+y+6＝x+y+11＝18，
∴x+y＝7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴x=1，y=6或x=2，y=5或x=3，y=4或x=4，y=3或x=5，y=2或x=6，y=1．
∵s，t是差异数，∴x≠3，x≠2，y≠1，y≠5，
∴x=1，y=6或x=4，y=3或x=5，y=2
∴F（s）/ F（t）=1/2或1或5/4．
∴K的最大值为5/4．
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