勾股定理（1）——尖子生之路[八下系列]
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勾股定理（1）
【例题】△ADE和△ACB是两直角三角形，按如图摆放，其中∠DAB=90°，求证a2+b2=c2．
【分析】连结DB，过点D作BC边上的高DF，构造直角三角形BDF，根据S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=S△ADB+S△DCB证明．
【证明】连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=0.5b2+0.5ab．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB
=0.5c2+0.5a（b﹣a），
∴0.5b2+0.5ab=0.5c2+0.5a（b-a）．
化简整理，得∴a2+b2=c2．
【反思】用数形结合来证明勾股定理，也是证明勾股定理常用方法——面积法．
【拓展1】当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理，
其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．
【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．
【证明】连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE
=0.5ab+0.5b2+0.5ab，
又S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE
=0.5ab+0.5c2+0.5a（b-a）．
∴ 0.5ab+0.5b2+0.5ab
=0.5ab+0.5c2+0.5a（b-a）．
∴a2+b2=c2．
【拓展2】四个全等的直角三角形按图示围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2√2EF，则正方形ABCD的面积为 ．
【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．
【解】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2．由题意可知：
EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）
=2a﹣b﹣2a+2b=b，
∵AM=2√2EF，∴2a=2√2b．∴a=√2b．
∵正方形EFGH的面积为4，∴b2=4．
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=36．
【拓展3】两个直角三角形ABC和A′B′C′，且满足△ABC≌△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，把这两个三角形拼成如图形状（点B和A′重合，且两直角三角形的斜边互相垂直）．请利用拼得的图形证明勾股定理．（设AB=c，AC=b，BC=a）
【分析】连接AB′，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．
【证明】在直角三角形ABC中，
∵∠CAB+∠ABC=90°，∠CAB=∠B'A'C'，
∴∠ABC+∠B'A'C'=90°．
又∵∠ABB′=90°，
∴∠ABC+∠B'A'C'+∠ABB′=180°．
∴C、B（A′）、C′在同一条直线上，
又∠C=90°，∠C′=90°，
∴∠C+∠C′=180°，∴AC∥B′C′．
连接AB′，过点B′作B′D⊥AC交AC于点D，
则四边形ACC′B′面积等于三个直角三角形面积，
∴0.5(a-b)(a+b)+(a+b)b
=0.5ab+0.5ab+0.5c2．
即0.5a2﹣0.5b2+ab+b2
=0.5ab+0.5ab+0.5c2，
a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
【练习】△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图①，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图②、③，请你类比直角三角形三边的关系，猜想a2+b2与c2的大小关系，并证明．
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