勾股定理(6)——尖子生之路[八下系列]
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勾股定理(6)
【例题】在△ABC中,已知AB=AC=10,BC=16,点D在BC上,且BD=7/2,连接AD,求证:AD⊥AC.
【解析】结合已知条件与所证结论不难理解,需构造直角三角形,通过勾股定理建立已知的边与角(垂直)的联系。又由于△ABC为等腰三角形,所以过点A作AE⊥BC于E,如下图示:
由等腰三角形的性质得出BE=1/2BC=8,由勾股定理得AE=6,
AD2=AE2+DE2=225/4,
又因DC2=(BC﹣BD)2=625/4,
AC2=100,得出AC2+AD2=DC2,
根据勾股定理的逆定理可得:△DAC为直角三角形即可.具体过程如下:
【证明】过点A作AE⊥BC于E,如图所示:
∵AB=AC=10,BC=16,∴BE=0.5BC=8,
在Rt△ABE中,由勾股定理得:
…=AE=6,
在Rt△ADE中,由勾股定理得:
AD2=AE2+DE2=225/4,
在△ADC中,DC2=(BC-BD)2=625/4,
AC2=100,
∴AC2+AD2=DC2,
∴△DAC为直角三角形,
∴DA⊥AC.
【反思】构造直角三角形是解题的关键,本题虽基础,但却提供了一道典型的通过勾股定理(或逆定理)进行“边角”转换的范例。
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【拓展】在△ABC中,已知AB=AC=10,BC=16,点D在边BC所在的直线上的一个动点,连接AD,设BD=x,当x为何值时,△ACD是直角三角形?若△ACD为等腰三角形呢?
【解法提示】
(1)当△ACD为直角三角形时,x=8或3.5;
(2)当△ACD为等腰三角形时,如下图示:
答案:x=0或6或39/4或26
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