勾股定理（5）——尖子生之路[八下系列]
说明:将精选本公众号中的相关文章进行修订和补充,分册编辑成书,书名拟定为《初中数学延伸课堂——尖子生之路》.
强调:如果你想学几何画板，请关注本公众号,进入后,输入"1",即可获得本人录制的622分钟免费视频教程观看地址.
勾股定理（5）
【例题】在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．
【分析】如图，连接BD，可得到等边△ABD和直角△CDB．再利用等边三角形的性质求得BD=8，再利用勾股定理来求线段BC、CD的长度．
【解】如图，连接BD．
∵AB=AD，∠A=60°．
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=AD=8，∠1=60°．
又∠1+∠2=150°，
∴∠2=90°．
设BC=x，则CD=16﹣x，
由勾股定理，得x2=82+（16﹣x）2，
解得x=10，16﹣x=6，
所以BC=10，CD=6．
【反思】注意方程思想在解题中的应用．
【拓展1】如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD=150°，∠BAD=60°，AB=4，BC=2√3，求CD的长．
【分析】利用相关条件构造特殊三角形，可延长AB、DC交于点E，可得到等边三角形和直角三角形，再利用相关性质即可求解．
【解】分别延长AB、DC交于点E．如下图．
∵∠BCD=150°°，∴∠BCE=30°．
∵AB⊥BC，∠CBE=90°，
∴∠AEC=60°．又∠BAD=60°．
∴△AED是等边三角形，
在Rt△BCE中，BC=2√3，∠BCE=30°，则CE＝2BE，由勾股定理，得BE2+BC2＝CE2，即BE2+(2√3)2＝(2BE)2．解得BE＝2，则CE＝4,DE＝AE＝AB+BE＝6，所以CD＝2.
【反思】通过延长AE和DC得到特殊三角形，利用相关性质求解，这也是常法（四边形转三角形）．
下面是本人主编或编著的书(点击书名，打开对应书籍的相关说明、目录与样章)：
购买渠道:"微店"(可扫描文章后二维码)
感谢朋友们的支持和鼓励！
【拓展2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点E,∠BAC=90°，∠CED=45°,∠DCE=30°,DE=√2,BE=2√2．
（1）求CD的长：
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由于在△CDE中，已知三个元素，两角一边，可构造直角三角形解决（常法通法），在不影响已知条件的前提下，显然过点D作DH⊥AC于H，方法最简单。如下图示：
根据∠CED=45°可得出△DEH是等腰直角三角形，由勾股定理可得出EH=DH=1，再根据直角三角形的性质得DC＝2，如下图示：
(2)在(1)的基础上，在Rt△DHC中，根据勾股定理求出HC＝√3；类似(1)同样可求得AB=AE=2，故可得出AC的长为3+√3，最后根据S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC即可得出结论．如下图示：
具体过程如下：
【解】(1)过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，∴∠EDH=45°．
∴∠HED=∠EDH，∴EH=DH．
∵EH2+DH2=DE2，DE=√2，
∴EH2=1．∴EH=DH=1．
又∵∠DCE=30°，∠DHC=90°，
∴DC=2；
(2) 如下图示：
∵Rt△DHC中，DH2+HC2=DC2，
∴12+HC2=22，∴HC=√3，
∵∠AEB=∠CED=45°,
∠BAC=90°,BE=2√3，
∴AB=AE=2．∴AC=2+1+√3=3+√3，
∴S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC
=0.5×(3+√3)×2+0.5×(3+√3)×1
=(3√3+9)/2.
【反思】根据题意构造出直角三角形，是解答此题的关键．
【拓展3】如图，在折线四边形ABCD中， AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=135°，∠DCE=30°，DE=2√2，BE=√2．求AC的长．
【答案】解法与原题类似，AC＝2√3－1.
微店(销售本人所有相关书籍)
(扫码进店购买,团购及销售相关问题直接咨询客服或留言联系负责人)
团购电话:13 696867 205(史先生)
(团购唯一渠道，若忙中或未接听，请留言)
提醒：任何淘宝网均无授权销售，请朋友们认清购买渠道．
扫描下列二维码，关注本公众号，进入后，
输入"book"或"样章"或"教辅"(均不含双引号)可得到本人主编和编著的相关书籍的详细编写说明、目录和样章.
输入"尖子生"或"培优系列"(均不含双引号)可得到相应的"尖子生之路"和"培优系列"各个按年级汇总的所有文章.
输入"搜索文章"可得到如何快速查找本公众号的文章（如同百度搜索，方便快捷！）……
输入"abcd"可得到：所有关键词与对应的输出结果（陆续更新中）
您的点赞是对我的鼓励和肯定，
您的分享和转发是我坚持的信心和动力！