勾股定理（4）——尖子生之路[八下系列]

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勾股定理（4）

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【例题】如图，△ABC中，D是BC的中点，AB=4√3，AC=2√3，AD=3，求BC的长及△ABC的面积．

【解析】几何中三角边角计算目前（八年级止）唯一的方法是通过“勾股定理或逆定理“，而由“中点“容易想到”倍长路线“（常用辅助线），为此，可添加如下图所示的辅助线，通过全等，可得到：

在△ABE中，由勾股定理的逆定理，可得到∠AEB＝90⁰，如下图示：

进一步地，在△ACD中，由勾股定理，又可以得到：

CD的长＝……＝√21，

从而BC＝2√21.

     同时，由于D是BC的中点，所以S_△ABC＝2S_△ACD＝…＝6√3.

【反思】勾股定理的逆定理的应用、三角形中线的性质（倍长中线）．

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【拓展1】如图，△ABC中， AB=4√3，AC=2√3， BC＝2√21，求中线AD的长和△ABC边AC上的高．

【提示】解法类似，答案为：中线AD的长和△ABC边AC上的高分别为3和3.

【拓展1】已知：如图，AB=5，AC=3，边BC上中线AD=2，求BC²．

【分析】此题的关键是添加辅助线：可以延长AD到E，使DE=AD，连接BE，则可求出∠AEB=90°，由此就可求出BD²=BE²+DE²=3²+2²=13=DC²，从而求出BC²．

【解】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，

则BE=AC=3，AE=4，AB=5，

满足AC²+AE²=AB²．所以∠AEB=90°．

BD²=BE²+DE²=3²+2²=13=DC²，

则（2BD）²=4BD²=4×13=52．

则BC²=（2BD）²=52．

【反思】构造含BD边的直角三角形，通过BC＝2BD，可求得BC²的值．

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