动点与坐标——平面直角坐标系（7）——尖子生之路[七下系列]
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动点与坐标
——平面直角坐标系（7）
【例题】如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．
（1）a= ，b= ，点B的坐标为 ；
（2）当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
【解析】（1）根据“算术平方根与绝对值”的非负性，可得到a－4＝0且 b－6=0，得到a、b的值，再根据长方形的性质，可以求得点B的坐标.如下图示：
（2）依题意，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标；如下图示：
（3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可．如下图示：
【解】（1）依题意，得：
a﹣4=0，b﹣6=0，
解得a=4，b=6，
∴点B（4，6），
所以答案是：4，6，（4，6）；
（2）如下图示，
∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，
∴2×4=8，∵OA=4，OC=6，
∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：8﹣6=2，
即当点P移动4秒时，此时点P在线段CB上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是（2，6）；
（3）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，如下图示：
第一种情况，当点P在OC上时，
点P移动的时间是：5÷2=2.5秒，
第二种情况，当点P在BA上时．
点P移动的时间是：（6+4+1）÷2=5.5秒，
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是2.5秒或5.5秒．
【反思】画出符合题意的图形，再利用数形结合的思想求出点P所经过的路程，进一步得到所经过的时间.
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【拓展1】已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）．
（1）求△ABC的面积是多少？
（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S△ACP=2S△ABC，求点P的坐标？
（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S△BCQ=2S△ABC，求点Q的坐标？
【分析】（1）由A、C两点的坐标可求出AC的长（AC＝4），由B点坐标可求△ABC边AC边上的高（＝B的纵坐标＝3），然后利用三角形的面积列式计算即可得解（＝6）；
（2）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；
如下图示：
此时S△ACP＝0.5×AC×OP＝2OP，
再由S△ACP=2S△ABC可得OP＝6，从而得到P（0，6）或P（0，－6）.
（3）类似上述分析，可分点Q在C的左边和右边两种情况讨论求解．如下图示：
此时S△BCQ＝0.5×CQ×yB，S△ABC＝0.5×AC×yB，再由S△BCQ=2S△ABC可得CQ=2AC＝12，从而得到Q（-11，0）或P（5，0）.
详细过程如下：
【解】（1）∵A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0），∴AC=1﹣（﹣3）=1+3=4，点B到AC的距离为3，
∴△ABC的面积=×4×3=6；
（2）∵S△ACP=2S△ABC=12，∴以AC为底时，△ACP的高OP＝12×2÷4=6，
∴点P在y轴正半轴时，P（0，6）；
点P在y轴负半轴时，P（0，﹣6）；
（3）∵S△BCQ=2S△ABC=12，∴以CQ为底时，△BCQ的高为3，底边CQ=12×2÷3=8，∴点Q在C的左边时，Q（-3-8，0），即Q（-11，0）；点Q在C的右边时，Q（-3+8，0），即Q（5，0）．
【反思】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，可以结合坐标系进行分析．
【拓展2】已知：△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）．若M（m，3），N（－2，n）（其中m，n是常数），（1）(1)当S△ACM=2S△ABC．求m的值；
(2)当S△BCN=2S△ABC．求n的值.
【提示】解法与拓展1类似，
答案为：（1）m=－6或m=6；
（2）n=－11或n=5.
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