2019年中考湖北武汉第23题（直角三角形与相似、三角函数）——中考压轴/好题/新题解析系列

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湖北武汉第23题（三角形与相似）

——2019年中考压轴解析系列

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（2019•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB：BC＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．图1
（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：CP:PQ=BM:BQ．图2
②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）图3
【图文解析】第一问（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．图1
【图文解析】图解如下：【拓展1】若n=4/5，其他条件不变，求BM与BN的数量关系？
答案：BM：BN＝4：5.【拓展2】若点M分别在CB或BC的延长线上，其他条件不变，请画出图形，上述的试题和拓展1的结论还成立吗？答案：如下图示，答案仍然成立.第二问（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：CP:PQ=BM:BQ．图2（2）①如下图，过点C作CH∥AB，交BP的延长线于点H，当n=1时，通过全等，易证得BM＝CM＝CH.由CH∥AB，证得△BPQ∽△HPC，得CP：PQ＝CH：BQ＝BM：BQ.

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第三问

（2）②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）

图3

解题思路：构造以∠BPQ为一锐角的直角三角形.

得tan∠BPQ＝tan∠PBH

＝PH/PB＝…＝1/n.

下面再提供几个思路：

……，

实际上过任意点作任意线段的平行线均可解决，解法均类似，本质相同，有兴趣的朋友可以试试！

【拓展1】在原题的条件下，求sin∠ACQ【拓展2】若点M为三等分点呢？【拓展3】若点M在CB的延长线上，且点BM＝0.5BC呢？

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