2019年中考江苏扬州第28题（等边三角形与折叠、面积）——2019年中考压轴/好题/新题－解析系列

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江苏扬州第28题（等边三角形与折叠）

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（2019•扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为　　；（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为　　；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．
【图文解析】
第一问（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为　　；【图解如下】

△APB′是等边△，得AB′＝AP＝4．

第二问（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为　　；【图解如下】
BB′＝2OB＝2PB•sin60°＝5√3．
 第三问（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；S_△ACB′＝S_△ACB＝…＝16√3，
所以面积保持不变．第四问（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．【图解精析】
由于PB’=PB＝6定值，点P为定点，得点B’的运动路径为以P为圆心，以PB＝6的长为半径的圆O.如下图示.又AC为定线段定长，所以当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，如下图示：
S_△ACB′的最大值＝0.5×8×（6+√3）
＝4√3+24．【拓展1】当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的取值范围．【拓展2】若本题中的点P在AB的延长线上，上述的其他结论是否还成立？

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