2019年中考四川成都第27题（等腰三角形动态与相似、路径）——2019年中考压轴/好题/新题解析系列

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2019年中考四川成都第27题

（等腰三角形动态与相似、路径）

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（2019•成都）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝3/4，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．

（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
 【图文精析】【题干】如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝3/4，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．

【题干解读】

【第一问】
（1）求证：△ABD∽△DCE；【图文解析】基本图形——“一线三等角”
【第二问】（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；【图文解析】
法一：法二：联立，解得y=195/16.所以20-y＝125/16.即AE＝125/16.法三：

【第三问】

（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．【图文解析】又是一道旋转相似的试题，本公众号至少有10篇以上的相关文章，可关注公众号后，点“搜索文章”，再输入关键词“旋转相似“搜索即可得到相关文章.法一：简易图解如下：过点A作AM⊥AB交BC于点M.所以CM＝BC－BM＝7.得点∠DMF＝90°为定角，且点M为定点，故点F在过点M的垂线上.
当CF＝DF时，CM＝DM，所以此时CD＝2CM=14.所以BD＝BC－CD＝18.所以存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18．
法二：【拓展1】在原题的基础上，若点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得△CDF为等腰三角形？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
【拓展2】在原题的基础上，若点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得△CEF为直角三角形？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．

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