2019-2020福建南平九上质检倒二压轴解析——三角形与四边形综合

2019-2020南平九上质检倒二压轴

【第24题】如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD＋∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．
（1）求证：AD⊥AC；（2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量的关系，并说明理由．
【图文解析】
（1）法一：延长DA和CB交于点E，如下图，结合已知条件，得∠EAB＝∠ACB．
如下图，在△CAE中，由∠ABC＝90°，得∠ACB+∠1＝90°，得∠EAC+∠1＝90°，即∠EAC＝90°，所以AD⊥AC．

法二：如下图示，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和（或三角形内角和定理），得∠DAC+y=(90°-x)+(x+y)，化简，整理，得∠DAC＝90°，所以AD⊥AC．

法三：如下图示，在Rt△ABC中，x+y+α＝90°，在△ABD中，由三角形内角和定理，得：x+y+α+∠DAC＝180°，所以∠DAC＝90°，所以AD⊥AC．

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【第二问】如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD＋∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．探求∠BAC与∠ACD之间的数量的关系，并说明理由．

【图文解析】
法一：延长DA和CB交于点E，如下图示．结合（1）的结论，得∠E＝∠BAC，∠ADC＝90°－∠ACD．由∠ADC＝∠BCD，得∠E＝180°－2∠ADC．所以∠BAC＝180°－2（90°－∠ACD）＝2∠ACD．即∠BAC＝2∠ACD．法二：作△DAC关于CD对称的△DEC，如下图示．则∠E＝∠DAC＝90°，∠ACD＝∠1．得∠ACE＝2∠ACD．  如下图示，结合已知条件，得∠ADC＝∠EDC＝∠BCD，得DE∥BC，且进一步，得∠BCE＝90°，又由∠ABC＝90°，得∠ABC+∠BCE＝180°，得AB∥CE，所以∠BAC＝∠ACE＝2∠ACD． 法三：如下图：
在Rt△ACD中，∠DAC＝90°，则α+(α+x+y)=90°，得2α＝90°－x－y＝∠BAC．即∠BAC＝2∠ACD．法四：过点A作AM∥CD交BC点M，如下图示的图解：
小结：法一，充分利用直角三角形和等腰三角形中最常见的基本图形的相关结论；法二，利用利用“对称”思想进行倍角和平行转化；法三：设元法——充分体现设元带来的方便，解题思路干净利落．法四，思路与法二类似，也是通过添加平行线将“倍角转化为等角“，此法应是最简便．
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