2019-2020福建南平九上质检倒一压轴解析——纯二次函数

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2019-2020南平九上质检倒一压轴

【第25题】抛物线C₁：y=-x²+2mx-m²+m+3的顶点为A，抛物线C₂：y=－(x+m+4)²-m-1的顶点为B，其中m≠-2，抛物线C₁与抛物线C₂相交于点P．（1）当m=-3时，在所给的平面直角坐标系中画出C₁，C₂的图象；（2）已知点C（-2，1），求证：点A，B，C三点共线；（3）设点P的纵坐标为q，求q的取值范围．
【图文解析】
（1）当m=-3时，抛物线C₁为y=-x²-6x-9=-(x+3)²，抛物线C₂为y=-(x+1)²+2，两函数的图象如下图所示：（列表与描点略，图中的单位长度需要补上（漏了）
（2）由y=-x²+2mx-m²+m+3=－(x-m)²+m+3，y=－(x+m+4)²-m-1，得A（m，m+3），B(-m-4，-m-1)．要证点A、B、C三点共线，可任取其中两点求出过这两点的直线解析式，再证明另一点在此直线上即可．可取A（m，m+3）和C（-2，1）．设直线AC为y=kx+b，则两方程相减，得（m+2）k=m+2．
因m≠-2，所以k=1．进一步，得b＝3所以直线AC的解析式为y=x+3．当x=-m-4时，y=-m-4+3=-m-1．所以点B(-m-4，-m-1)在直线AC上，所以点A，B，C三点共线．

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（3）思路分析：根据题意，联立两抛物线的解析式，解关于x，y的方程组，求出y（用m表示）即交点P的纵坐标，得q关于m的代数式，再结合m≠-2，利用函数的性质求q的取值范围．
根据交点的定义，由－(x-m)²+m+3=－(x+m+4)²-m-1得(x+m+4)²－(x-m)²＝-（2m+4）左边因式分解，得（2m+4）(2x+5) ＝-（2m+4）．因 m≠-2，所以2m+4≠0．得2x+4=-1，得x=-5/2，进一步，得q=－(-5/2-m)²+m+3=-m²-4m-13/4=－(m+2)²+3/4．因 m≠-2，所以q＜3/4．（实际上，当m的值变化时，点P在射线x=-2．5(y<3/4)上运动，其中当m=-2时，两抛物线重叠，如下图示，【拓展】抛物线C₁：y=-x²+2mx-m²+m+3的顶点为A，抛物线C₂：y=－(x+m+4)²-m-1的顶点为B，其中m≠-2，抛物线C₁与抛物线C₂相交于点P，连接AP和BP．若△ABP是直角三角形，求m的值．
（拓展仅作为教学研讨，不提供答案）强烈推荐：本公众号文章详细分类总表(其中与初中数学相关的文章超过1800篇)延伸阅读：
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