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[图文解析]2020年上海中考数学第24题(倒二压轴——线段、直线与抛物线,顶点相关)

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

2020年上海中考第24题(倒二压轴)
(线段、直线与抛物线,顶点相关)
2020·上海】在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x/2+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图).抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A.
(1)求线段AB的长;
(2)如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C,且BC=√5,求这条抛物线的表达式;
(3)如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内,求a的取值范围.


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【图文解析】
(1)易求得B(0,5),A(10,0),根据勾股定理,求得AB=5√5.
(2)法一:设C(m,﹣0.5m+5),因B(0,5),由勾股定理,得
BC2=m2+(﹣0.5m+5-5)2=(√5)2
解得m=±2.
又点C在线段AB上,
所以m=2,得C(2,4).
将A(10,0),C(2,4)分别代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中,得关于a、b的方程组,解之得a=-1/4,b=5/2.
所以所求的抛物线为y=﹣x2/4+5x/2.
法二:通过相似或三角函数的定义,结合勾定理求解,如下图示:

(注意:1:2:√5也是常见的直角三角形的三边比,最好能熟练记住!)
(3)由于抛物线经过原点和点A(10,0),得对称轴为直线x=5,进一步,得对称轴与直线AB的交点M的坐标为(5,5/2),点D的坐标为(5,-25a).如下图示:

观察图象,知:当顶点D的纵坐标应满足0<yD< yM时,抛物线的顶点D在△AOB内,即0<﹣25a<5/2,解得-1/10<a<0.
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