Points of Significance: 贝叶斯网络

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Points of Significance: 贝叶斯网络

简介

Nature methods从2013年9月开始发表月刊Points of Significance系列，该系列主要介绍统计在生物学中的应用，让读者可以更正确的理解及使用统计。有研究发现，在医学类期刊上发表的文章中，有接近半数的统计方法的使用都是不正确的，所以Nature methods推出该系列统计文章，以实用易懂的方式来介绍统计中的一些基本概念。

前言

        在介绍了贝叶斯公式、贝叶斯统计之后，我们将在此基础上继续介绍Points of Significance系列：贝叶斯网络。

什么是网络

        本段将简单介绍什么是网络，对这部分熟悉的朋友可以直接跳过。我们这里说的网络不是互联网，不是wifi，而是一种图（这个图是什么图？容后介绍）。

        网络是由节点（node，vertex）和节点间的边（edge，connection）组成。网络表示的信息量可以很大，比如可以用节点属性（如颜色，大小，形状，名称等信息）表示某个物体、人的特征，边的属性（颜色，粗细，名称等信息）可以表示两个物体、人之间的关系。

网络的理论和应用

        网络的理论和应用也很广，比如人们社会关系网络，最著名的例子可能就是Zachary的空手道社团的例子了：一个空手道社团的管理人员和教练发生分歧，然后该社团分成了两个社团，研究者根据社团人员关系建立网络，然后根据网络关系进行网络分成两类，最后发现只有一个社员被错误分类。

        大家可能听说过这样的事情，世界上任意两个人要想彼此认识，只需要通过六个人就可以了。在社交网络中，这是对的（当然需要排除掉隐居的等特例），这就是著名的网络的小世界特性，当然并不是所有的网络都有这个特性。

        还有一些比较常用的网络，如文章共引用网络，蛋白相互作用网络，基因相互作用网络等等。

网络历史

        在数学上，网络被叫做图，《图论》是一门数学类书籍，感兴趣的可以看看。说到图论，不得不说欧拉，欧拉真是一位伟大的数学家，不查任何资料，我也可以直接开口说出他的各种成就：数论里计算比N小且与N互质数量的欧拉公式；几何里多面体边、顶点面关系的欧拉公式；还有微积分方面的贡献及本文要提到的对图论的贡献。

        欧拉在某种程度上可以说是图论的创始人，较为出名的就是七桥问题：故事基本是这样的，欧拉某一年到哥尼斯堡的时候，发现当地人在玩一种比较有趣的消遣活动，就是该城市的一条河里有两个小岛，总共有七座桥连接这两个小岛及两岸，当地人就在消遣看是否能从某一个地方出发，且经过所有桥且每个桥只经过一次是否能回到原来出发的地方（当地人真的很有趣，居然玩这种游戏！大家当故事看）。然后欧拉就解决了这个问题，并且提出了一笔画问题及其解法，后来图论就渐渐诞生了。

        附一笔画问题，有兴趣的可以思考思考，网上到处都有答案，可以去搜索下：给一个几何图形，是否能通过一笔把该图形画出来（不提笔）。

贝叶斯网络

        上面说了这么多，都是废话，下面来今天的正题：贝叶斯网络。当我们做统计推断时，若是研究的变量较多，且变量间关系较为复杂的时候，此时可以联合网络和贝叶斯理论构建贝叶斯网络进行分析。

        本文使用的例子都是简化的例子，如下图所示：

        若我们考虑两个变量A和B的关系的时候，我们只考虑两种情况就是真或者是假。若A为真，那么A的概率用大写字母A表示为P(A)，若为假，则表示为P(a)，同样对B分别用P(B)和P(b)表示B的真假的概率。

        下面我们再介绍一个贝叶斯网络中会用到的表格：条件概率表格如下

        若是上述表格是变量（节点）C的条件概率表格，其意义为：当A为真B为真时，C有90%的概率为真，当A为真B为假时，C有70%的概率为真，当A为假B为真时，C有30%的概率为真，当A为假B为假时，C有10%的概率为真。

贝叶斯网络示例

        下图a表示的是5个基因是否被激活的一个基因调控网络，下图b是根据该调控网络构建的贝叶斯网络。

        由上图b可以看出，A和B是相互独立的（两个基因间没有连线），A有80%概率被激活，而B只有20%。C旁边的条件概率表说明了C收到A，B基因状态的影响且说明了影响程度。另外可以看出D只受到B的影响，而E受到C的影响，那么也就间接受到A和B的影响。

        根据贝叶斯网络结构及条件概率表格，我们可以计算每个基因的先验概率。显然A和B的先验概率为80%和10%，C受到AB的影响，所以计算C的先验概率时要考虑AB的所有状态，计算如下：

同样可以计算D和E的先验概率：

        有了上述网络关系，我们还可以计算联合概率，比如五个基因都被激活的概率和BE不被激活的概率分别计算为：

贝叶斯网络后验概率

        上述先验概率在得到条件概率表格后就都能计算了，若是我们有观测值，那么贝叶斯理论会根据观测值对先验概率进行更新。

        如上图a所示，若是观测到A基因被激活，那么可以更新C的后验概率和E的后验概率：

        观测到A激活可以增大C被激活的概率13%到76%，但是会降低E被激活的概率11%到34%。B和D不受影响。

        上述结果表明C受到A的影响，所以若是知道C被激活，那么A被激活的概率也会改变，如上图b所示。计算A和B的概率如下

        也就是说若是知道C被激活，那么A和B被激活的概率都会增加。

        后面简单说一下上图c和d的含义，上图c表示若已知C被激活，那么再观测到A就会影响B和D的概率。同样d图说明，若是观测到E，那么所有影响E的节点及这些节点影响的节点都会被改变。

参考文献

 1. Puga JL, Krzywinski M, Altman N. Points of Significance: Bayesian networks. Nature methods. 2015;12(9):799-800.

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