严加安院士：数学如诗，境界为上
图片来源：Pixabay
本文转自中国数学会微信公众号
本文整理自严加安院士在第十届全国数学文化论坛会议上的报告 “数学如诗，境界为上” 。
严加安，概率学家，中科院数学与系统科学研究院研究员。1964年毕业于中国科技大学，1999年当选为中国科学院院士。从事随机分析和金融数学研究。1993年获国家自然科学二等奖， 2002年8月应邀在国际数学家大会上做45分钟报告，2006年获何梁何利基金科技进步奖，2007年获华罗庚数学奖。2010年当选为美国数理统计学会会士（Fellow）。
目录
1、王国维的“境界说”
2、数学与诗歌的共性
3、高境界数学的例子
4、我的三首数学诗
1.王国维的“境界说”
王国维在《人间词话》中提出 了“境界说”：词以境界为最上。有境界则自成高格，自有名句。他说：有造境，有写境,此理想与写实二派之所由分。二者颇难分别。因大诗人所造之境，必合乎自然，所写之境，亦邻于理想故然也。按我理解，“造境”是以意念和想象为境，“写境”是描写现实的景物。
王国维还说：自然中之物，互相限制。然其写之于文学及美术中也，必遗其关系，限制之处。故虽写实家，亦理想家也。又虽如何虚构之境，其材料必求之于自然，而其构造，亦必从自然之法则。故虽理想 家，亦写实家也。
他又说：诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能写之。出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气。出乎其外，故有高致。
我认为，评价一项数学成就的高低，也应该是境界为上 。数学境界也有“造境”与“写境”之分，前者是“创造理论”，后者是“解决难题”。数学家也有写实家和理想家之分，前者是入乎其内, 侧重应用数学，后者是出乎其外, 侧重纯粹数学，但两者是互通的。
数学的境界包括：
1）大道至简，大美天成 ；
2）简洁、和谐、对称、雅致；
3）颠覆性的创新；
4）交叉、融合、统一。
王国维还提出：“古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界：‘昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天涯路。’此第一境界也。‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。’此第二境界也。‘众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。’此第三境界也。”
关于王国维的治学“三境界”，我的解读是：他借用晏殊的“独上高楼，望尽天涯路”来比喻“志存高远”；借用柳永表现刻骨爱情的词句来比喻“锲而不舍”的精神；用辛弃疾 的“蓦然回首，那人正在灯火阑珊处”来比喻“在经过艰苦探索后突然有所发现”。因此，王国维的治学“三境界”可以解读为“志存高远、艰苦探索、最终顿悟”，这是任何科学发现所必须经历的三个阶段。
数学家哈代认为：数学家的活动与艺术家的活动很多是共同的、相像的。他说：“画家进行色彩与形态的组合，音乐家把音阶组合起来，诗人组词，数学家是把一定类型的概念组合起来”。因此，无论是艺术家还是数学家，他们做的工作都是组合，只是组合对象不同。
数学家维纳认为：“数学是一门精美的艺术”。
数学与诗歌有许多共性，归纳为八点。
首先，数学和诗歌的源泉都是自然和社会。
宋代大诗人陆游告诫儿子说：“汝果欲学诗，功夫在诗外。”这个诗外是诗人对日常生活和大自然细致的观察、体验、感知，这是诗歌创作的源泉。做数学研究也与诗歌创作类似。数学史家克莱因认为：“对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉。”
数学家庞加莱指出：“把外部世界置诸脑后的纯数学家就好比是懂得如何把色彩与形态和谐地结合起来但没有模特儿的画家，他的创造力很快就会枯竭。”
丘成桐在一次公众讲演中说过，他的研究工作深受物理学和工程学的影响，这些科学提供了数学很重要的素材。他说：“没有物理上的看法，很难想象单靠几何的架构，就能够获得深入的结果。”
第二，数学和诗歌都追求和谐与简洁。
数学之美在于对真理的精确表述，对逻辑的完美演绎。诗歌之美在于对情感的含蓄吐露，对意境的精妙营造。这两种美都追求 “简洁美”。爱因斯坦说过：“美在本质上终究是简单性。”希尔伯特说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着。”
数学的和谐是不言而喻的，例如，数学各分支中公理化体系必须是和谐的。至于数学的简洁，一方面数学结果是通过简明的命题或定理的形式来表述的；另一方面，在研究过程中，数学家追求简洁，即追求在较少条件下推出尽可能广泛而深刻的结论，或者力图简化已有结果的证明。
第三，数学中的“对偶”与诗词中的“对仗”是异曲同工。
诗词中的“对仗”能使意境更加优美，抒情更加感人，哲理更加深邃。数学中的“对偶”使得数学理论变得更加深刻，更加优美。在数学的各个分支都有对偶理论。“对偶”不只是数学的结构和框架，而且是一种思维方式，也是重要的证明工具和技巧。
第四，数学和诗歌的创作都需要直觉和想象力。
任何科学和艺术的创作都需要直觉和想象力，但数学和诗歌更为突出。例如，李贺《梦天》中诗句“遥望齐州九点烟，一泓海水杯中泻”和李白《望庐山瀑布》中诗句“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”就极富直觉和想象。这种直觉和想象是源于诗人的形象思维。
数学史家克莱因说：“数学也是一门需要创造性的学科。在预测能被证明的内容时，和构思证明的方法时一样，数学家们利用高度的直觉和想象。”这和诗歌创作时构思意境和遣词造句非常类似。
数学家魏尔斯特拉斯说：“一个数学家，如果没有一点诗人的气质，不会是一个完满的数学家。”一个数学家不一定要会写诗，但是气质上要像诗人，即要有丰富的直觉和想象力，这样才能做好数学研究。
第五，诗歌创作和数学研究都需要激情和灵感。
诗人有了激情才能把自己的感悟加深和放大，把内心情感宣泄出来，作品才能打动人和感染人。对数学研究来说，激情来自于探求未知真理的好奇和对美的追求。
什么是灵感？灵感也叫顿悟，它是一种近乎无意识或潜意识的非逻辑式的创造性思维活动。灵感是对某一问题长期思考以后突然产生的思想火花，有时产生于全神贯注思考问题之际，有时却是在不经意间或意识朦胧之中。
第六，数学研究和诗歌创作都需要有美感。
法国数学家庞加莱认为：“美感，对美观与优雅的感觉，在数学的成功中是一个重要的因素。” 他在《数学创造》一文中形象地描述了数学美感在数学创造过程中的作用 ，他说：“各种数学概念在潜意识里碰撞组合，数学直觉从中筛选有意义的组合，进而进行创造。…… 潜意识做出选择时，所用的标准便是数学的美感，数和形的和谐感，几何学的雅致感。”
数学史家克莱因认为：“进行数学创造的最主要驱动力是对美的追求。”他曾对数学美作过如下描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”
第七，“创新”是数学和诗歌的共同美学准则（即评价标准）。
艺术家把“创新”叫做“艺术风格”。例如，李白的诗“豪迈奔放，飘逸若仙”，是浪漫主义风格；杜甫的诗则“深沉蕴蓄，抑扬曲折”，是现实主义风格。对数学研究而言，创新必须是在一定科学范围内有比较重要的意义。
最后，数学和诗歌的另一共同美学准则是王国维《人间词话》中说的“境界为上”。
1）大道至简，大美天成
欧拉公式1
简单凸多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有如下关系：
欧拉公式2
2）简洁、和谐、对称、雅致
庞加萊猜想：单连通3维闭流形同胚于3维球面。
孪生数猜想：存在无穷多对素数，其差等于2 。
哥德巴赫猜想、黎曼猜想
伽罗瓦群论，黎曼几何，
哥德尔不完备定理，
伊藤清的随机分析，
香农信息论，
3）颠覆性的创新
格罗滕迪克的“概形理论” scheme theory。20世纪50-60年代，格罗滕迪克对代数几何进行了彻底的革命，建立了“概形理论” ，1966年奖菲尔兹奖。
在概形理论的基础上，数学家们取得了一系列杰出成就：
1973年, 德利涅证明了韦伊猜想（1978获菲尔兹奖）;
1983年, 法尔廷斯证明了莫德尔猜想（1986年获菲尔兹奖）;
1995年, 怀尔斯证明了有350多年历史的费马大定理（1996年获菲尔兹特别奖）。
4） 交叉、融合、统一
1. Atiyah-Singer 指标定理：
紧流形上的椭圆偏微分算子的解析指标（与解空间的维度相关）等于拓扑指标（决定于流形的拓扑性状）。
2.朗兰兹纲领：
朗兰兹纲领是将数学中某些表面上毫不相干的领域（数论、代数几何与约化群表示理论）建立一种本质联系的构想。纲领是由朗兰兹于1967年在一封给韦伊的信件中提出的后来被称为的朗兰兹互反猜想演变而来的。法籍越南数学家吴宝珠因证明朗兰兹纲领基本引理获得了2010年菲尔兹奖。朗兰兹本人获2018年度阿贝尔奖。
5）分形几何学与“分形艺术”
分形几何学是一门以不规则但具有自相似结构的几何形态为研究对象的几何学，在物理学、生物学和医学等领域有重要应用。“分形艺术”是用分形几何理论产生图像，然后用数学方法对放大区域进行着色处理，就变成一幅精美的艺术图案，这些艺术图案被称之为“分形艺术”。
下面展示4幅分形艺术。
6）大美天成的证明
介绍了40多个著名数学问题极富创造性和独具匠心的证明。这是一本开阔数学视野和提高数学修养的著作。该书已被译成十多种文字，有中译本，第3 版书名《数学天书的证明》，我建议译为《数学天成之证》。
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